今天我们用三种不同的方法来证明√2是无理数。
我们知道在实数范围内，除了有理数就是无理数。也就是说，有理数集Q和无理数集的交集是空集∅，并集是实数集R。
有理数是指有限小数或无限循环小数，这里将整数视为有限小数。有理数都可以写成既约整分数的形式，这里将整数视为分母为1的分数。所谓既约整分数就是指分子分母都是整数并且约到最简的分数。
若a∈Q，则a=p/q，这里p、q∈Z，且(p,q)=1，q≠0。这里符号(p,q)，代表p和q的最大公约数，若(p,q)=1，则称p和q互质。
无理数是指无限不循环小数，任何无理数都不能写成两个整数相除的分数形式。
那么我们应该如何来证明√2是无理数呢？如果从正面思考这个问题，就需要证明√2是无限不循环小数。很显然，无论你把√2精确计算到多少位，都不能说明其小数部分是无限的，更不能说明是不循环的。也就是说，根本就无法做到从正面来说明√2是无理数。所以我们必须转换思维，在实数范围内，除了无理数就是有理数，如果我们能够说明√2不是有理数，那就一定能够说明√2是无理数。这就是反证法的思想。
方法一：经典证法
证明：假设√2是有理数
显然√2＞0，则√2=p/q
p、q∈N*，且(p,q)=1
p=(√2)q，p^2=[(√2)q]^2=2q^2
p^2为偶数，则p为偶数
设p=2m
2q^2=p^2=(2m)^2=4m^2
q^2=2m^2
q^2为偶数，则q为偶数
p和q均为偶数，与(p,q)=1矛盾
说明“假设√2是有理数”错误
所以√2是无理数，证毕！
方法二：
证明：假设√2是有理数
显然√2＞0，则√2=p/q
p、q∈N*，且(p,q)=1
p=(√2)q，p^2=[(√2)q]^2=2q^2
1＜√2＜2
1＜p/q＜2，q＜p＜2q
由p＜2q，得p-q＜q
由q＜p，得2q＜2p，2q-p＜p
由p^2=2q^2
得p^2-pq=2q^2-pq
p(p-q)=q(2q-p)
p/q=(2q-p)/(p-q)
注意到：2q-p＜p，p-q＜q
也就是说分数(2q-p)/(p-q)的分子分母都比分数p/q的分子分母小，并且这两个分数相等。
这与(p,q)=1矛盾
说明“假设√2是有理数”错误
所以√2是无理数，证毕！
方法三：
证明：假设√2是有理数
则必存在最小正整数n
使得n√2∈Z
m=n√2-n=n(√2-1)
1＜√2＜2，0＜√2-1＜1
0＜m=n(√2-1)＜n
m√2=(n√2-n)√2=2n-n√2＞0
2n∈Z ，n√2∈Z
m√2=2n-n√2∈Z
注意到，m√2∈Z ，m＜n
与n是满足n√2∈Z 的最小正整数矛盾
说明“假设√2是有理数”错误
所以√2是无理数，证毕！
今天我们用三种不同的方法严格证明了√2是无理数，这三种不同的反证法思想很值得大家去学习。
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