沿着中线把莫比乌斯环剪开，不会得到两个莫比乌斯环，而是一个有两面的环。原因很简单：剪的动作增加了一条边界。由此得到的表面是一整块——上下两边总是一样长，但有两条边界！
剪开莫比乌斯环：如果沿着中线把莫比乌斯环剪开，得到的形状有两条边界，一条是原来莫比乌斯环的边界（红、蓝色），另一条是剪开线（黑色）。
要想制作一个莫比乌斯环，要把这个平面在三维空间中扭转。因为有了三维空间，它才可能穿过第三维来避开和自己相交。所以，莫比乌斯环是一个“三维物种”：我们之所以可以得到莫比乌斯环这样一个“逆天”的东西，是因为我们生活在三维空间里。
埃舍尔：《莫比乌斯Ⅱ》
然而，我们是没办法在现实世界中做出一个克莱因瓶的，因为它是一个“四维物种”。要制作一个克莱因瓶，需要在四维空间上对三维空间进行扭曲。
想象你用笔在纸上画出一个8字形。此时，8字中间的笔迹将不可避免地出现自交，这与圆柱体在克莱因瓶的中间自交是同样的道理。笔迹之所以自交，是因为笔迹线条被限制在了二维表面。不过，如果引入第三个维度，用一条绳子摆出数字8的形状，就不会有自交问题了。当一段绳子与另一段绳子叠在一起时，它可以在第三维度上上升。因此，这条绳子不需要自交。类似地，如果胶皮圆柱体可以在第四维度上上升，我们就可以制作出一个没有自交的克莱因瓶。
克莱因瓶的结构显然不同于普通的瓶子，这使它获得了一个奇特的性质。为了理解这一点，我们可以想象在下图的克莱因瓶表面移动。特别是，想象沿着克莱因瓶外表面黑色箭头指示的路径前进时的情形。
这个箭头向上移动，然后在颈部的外表面绕回来，下降到相交点。随后，箭头变成了灰色，这说明它进入了瓶子内部。箭头继续前进，很快越过了起始点。不过，它现在位于瓶子的内部。如果箭头继续上升到颈部，然后下降到底部，它就会回到外表面，最终返回原点。箭头可以平滑地在克莱因瓶的内表面和外表面之间移动，因此这两个表面实际上属于同一个面。
当然，拥有明确的内表面和外表面是瓶子的一个主要标准，因此克莱因瓶并不是具有正常功能的瓶子。毕竟，如果倒入等同于倒出，你又怎么能把水倒入克莱因瓶呢？
实际上，克莱因从未将他的发明称为瓶子。它最初叫作Kleinsche Flche，意为“克莱因面”。这个名字很恰当，因为它只有一个面。不过，英语国家的数学家很可能将其误听成了Kleinsche Flasche，翻译成英语是“克莱因瓶”。从此，这个名字就流传下来了。
最后，前面说过，克莱因瓶和莫比乌斯带之间存在紧密的联系。最明显的联系是，两个奇怪的物体都是只有一个面。第二个不太明显的联系是，如果将克莱因瓶切成两半，你就可以得到一对莫比乌斯带。遗憾的是，你无法完成这个戏法，因为只有当你拥有第四维度时，你才能切割克莱因瓶。
丨数学是对真理的探索，对矛盾的怀疑，它绝非晦涩难懂的学问，它是纯粹而朴实的智慧。愿我们能发现数学之美，发现美的本源源于数学。
文章来源：公众号“数学之美”
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