最近给学生进行导数中的三角函数大题专项训练，准备了九道题目，其中包含六道导数三角中的零点问题，三道恒成立求参问题，难度中等，适合对此类问题有一定熟练度的学生练手，很久之前给出过如下三期专项训练，熟练掌握这些题目后，这种题型就可以放手了。
导数中与三角函数相关的大题训练1
导数中与三角函数相关的大题训练2
导数中与三角函数相关的大题训练3
关于此类问题的解题注意事项可归结为以下三个注意的点：
- 注意函导数在所给定义域内特定点的值，例如端点值或使函数中参数消除掉的值。
- 切分区间使得函数或一二阶导函数的单调性能够确定或者符号能够确定，若使用二阶导，最好保证二阶导数在切分之后的区间上具有保号性，尽量避免三阶导数。
- 留意放缩法的使用，常规指对数放缩自然需要掌握，还需要留意三角函数本身具有的放缩形式，例如当x>0时，sinx<x<tanx，当|x|≤1时，cosx≤1-x^2/4,以及利用三角函数有界性判断在某切分区间内的范围。
- 由于此类问题常用高阶导数判断原函数的趋势，因此借助f''(x),f'(x),f(x)的三者的图像更为直观。
分析：第二问用到了类似于端点效应的思想，先确定定义域两端点的值，可知f(0)=0,f(π)>0,f'(0)=0,以二阶导在x=0的正负来确定参数的讨论情况，若二阶导在x=0处大于等于0,则一阶导数必有一段单增区间，原函数必有一段大于0的图像，加之f(π)>0，若保证有一零点，则唯一的可能是存在唯一极小值等于0，由于对应的极值和极值点并不易求，这种情况根据f(x)本身的正负利用放缩来排除即可。
若f''(0)<0，此时满足要求的函数图像为先减后增，一阶导的单调性和保号性都不能确定，二阶导数在(π/2,π)上具有保号性，三阶导函数在(0,π/2)上具有保号性，分类讨论即可。
分析：第一问f'(x)=e^x cosx sinx，考虑特殊点，f'(0)=0，因此只需证明f'(x)单增即可，这里用到了x≥sinx,|cosx|≤1
第二问根据第一问的结论可知当x≥0时g(x)的单调性，当x<0时g'(x)在(-3π/4,0)上具有单调性，当x<-3π/4这种大区间内不需要考虑单调性，根据指数和三角函数有界性确定此时g'(x)的保号性即可。
分析：依旧先考虑特殊值f(0)=0,一阶导函数由于存在乘积的形式单调性不容易确定，由于存在参数a保号性也不容易确定，考虑二阶导，二阶导数依旧是乘积的形式，因此只考虑保号性，当0<x<π/2时导函数单增，当π/2<x<π时导函数单减，此时f'(π/2)和f'(π)的符号确定，f'(0)=2-a符号不确定，讨论f'(0)的正负即可。
分析：第二问不含参，处理起来更容易一些，先考虑特殊点的值，g'(x)在(-π/2,π/2)上具有单调性，当x>π/2时，g'(x)也具有保号性，但是如果没有给出参考数据e^(π/2)，则保号性不容易确定，可通过g''(x)的保号性来确定g'(x)的单调性。
分析：本题和第二题相似，特殊值点为h(0)=0,导函数的单调性比保号性更容易确定，当x>3π/4这种大区间时，用三角函数整体的有界性更容易判定导函数的保号性。
分析：g(x)为奇函数，只需判定(0,2π)上的零点个数即可，至于下面解析中为什么以π/2为区间分割点，是从二阶导函数的保号性决定的，但在判断函数在(0,π/2)上有无零点时下面是直接用放缩来证明，但这种放缩不建议使用，一阶导函数在(π,2π)上具有保号性，二阶导函数在(0,π/2)上具有保号性，三阶导数在(π/2,π)上具有保号性，结合特殊点的符号判断函数单调性即可。
分析：第一问判断f'(x)变号零点的个数，一阶导在(0,π/2)上具有单调性，二阶导数在(-π,0)上虽然具有单调性，不具有保号性，可确定出f'(x)在(-π,0)上先减后增，且f'(-π)<0,f'(0)=0，因此f'(x)在此区间上具有保号性，将区间(-π,0)进一步拆分的步骤有无皆可。
第二问求参和第一题类似，g(x)满足g(0)=0,g'(0)≠0,用g'(0)的正负作为参数的讨论依据，注意当m>0时g'(x)不单调，但可根据指数放缩确定g'(x)的符号，无需二阶导。
分析：这个题目很有意思，第二问的答案可以直接猜出来，但常规证明过程却不简单，h(x)≤0恒成立，且h(0)=0,因此在原点右侧必定存在一个单减区间，在原点左侧必定存在一个单增区间，利用端点效应两者可确定出满足要求时的a值等于1/2,若写步骤时根据h'(0)的正负确定出对参数的讨论情况，a>1/2和a=1/2时很容易证，当a<1/2时，二阶导单减但符号不确定，只需原点左侧找出一个单减矛盾区间即可。
分析：做法依旧类似，观察特殊点g(0)=0，根据g'(0)的正负确定出对参数的分类依据即可，题目更像是常规的端点效应解法。
综上所有题目，无论是判断零点个数还是根据零点个数求参，亦或是恒成立求参，对此类问题的处理方法大致相同，根据保号性和单调性切分区间，再根据特殊点的值判断每段区间上函数的单调性，其中也会用到常规放缩进行符号的判断，相比于其他类型导数大题，这种题目虽更具复杂性，但难度上却不如常规题型。
