之前曾发文《怎样比较n的(n 1)次方与(n 1)的n次方的大小》,以及《n的(n 1)次方与(n 1)的n次方再比较》,下面我们就来说一说关于统计整数m和n?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
统计整数m和n
之前曾发文《怎样比较n的(n 1)次方与(n 1)的n次方的大小》,以及《n的(n 1)次方与(n 1)的n次方再比较》。
对任意两个正整数m和n,若n>m,怎样比较m^n与n^m的大小,是本文所要讨论的。
一、如果m=1,则1^n=1,n^1=n,1^n<n^1,这太简单了。
二、如果m=2,则2^3<3^2;2^4=4^2;n≥5时,2^n>n^2.
三、如果m≥3,可设k=n/m,显然k>1.
m^n=m^(km)=(m^k)^m
n^m=(km)^m
所以,可通过探究m^k一km,比较m^k与km的大小,来判定m^n与n^m的大小。
△考查函数y=a^x一ax(a>0,a≠1)
x=1时,y=0
函数y=a^x一ax的导数
y'=a^xlna一a
a≥3时,在区间(1, ∞)上,y'>0,说明在区间[1, ∞)上,y=a^x一ax为单调增函数。
可见,a≥3且x>1时,y=a^x一ax>0.
△当m≥3时,把m^k一km套用于函数y=a^x一ax,因为k>1,所以m^k一km>0,从而得到
(m^k)^m一(km)^m>0
m^n一n^m>0,即
m^n>n^m
△现在,若要比较47^48与48^47、59^103与103^59、17453^17456与17456^17453等等,就不费吹灰之力了。
△谢阅读,请指教。
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