有人问,离2021年高考已不足三个月,是否应该摒弃难题,回归基础?
(补充:成绩中等)
既然问,就说明自己权衡不下,希望得到建议。
不才,只能粗略地回答:根据以往的经验,眼下还是强攻一些中难题以提升能力,回归基础,最后一到两周足矣。
比如下面这道题,在考场上也许会战略放弃,但平时焉能视而不见啦。
1 围观:一叶障目,抑或胸有成竹
导数压轴不是稀罕事,未来也必有一套试卷延续这种模式。内容无非是函数的单调性、极最值、不等式恒成立求参数、证明不等式以及函数的零点。
第1问,函数的零点,分类讨论抑或分离参数皆可。新教材提供的极限模式,实在是功德无量,那些魔幻的取点手段暂时可以休矣。
第2问,证明含参不等式,显然,统一变量是当务之急。
如何统一?
隐零点代换。
2 套路:手足无措,抑或从容不迫
函数的零点主要考查三个方向:1判断函数零点的个数;2已知函数的零点求参数的取值范围;2函数零点的综合应用。
本题即是第1类,由于参数不含变量(即常数项),故分类讨论与分离参数并无太大差异。函数的零点、方程的实根、曲线的交点,三者相互转化,体现了函数与方程的思想。
通过隐零点代换,将双变量问题转化为单变量问题,进而构造函数利用单调性即可证明。本题不难,但形式可怖,从而导致不少人直接放弃,悔之晚矣。
值得说明的是,本小题的背景是高等数学中指数函数的“泰勒展开式”的前三项,较之切线不等式更为精细。
法1用到了当下热门的“指对同构”,变形有一定的技巧,主要工具是对数恒等式。
同构——前面我们也介绍过不少。坦率讲,我是鄙视这种套路的,无非就是花式变形。无奈2020年高考山东卷,同构横空出世,加之学生又老是提及,所以无法熟视无睹。
你还别说,一旦用上就有一种难以抗拒的魔力,是个题都想去同构。
先放缩再构造是解决函数不等式的常用策略,放缩后往往一针见血。但注意放缩适度,避免过犹不及。
另外,不放缩直接构造函数也是可以的,交给机智的你吧。
3 脑洞:浮光掠影,抑或醍醐灌顶对于第(2)问的第②小问,下面给出一种学生的错误解答:
乍一看,上述解答似乎天衣无缝,水到渠成,堪称简洁完美。然而仔细瞧瞧,你会发现证明的结论强行变成了2a-lna>2。
咦?什么情况?难道题目出错了?
题目当然没有错,法1与法2便是铁证。那么只能是解答错了,错在哪里呢?错在使用均值不等式放缩过度。所以,放缩有风险,解题需谨慎。
4 操作:形同陌路,抑或一见如故
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