七年级下学期数学，三角形形状的判定，三个知识点的应用。常见的比较特殊的三角形有等腰三角形，等边三角形，直角三角形，等腰直角三角形，在初一阶段，由于还没有学习勾股定理，因此通过边一般能判定等腰三角形和等边三角形，通过角度可以判定等腰三角形，等边三角形，直角三角形和等腰直角三角形。
例题1：已知a，b，c是△ABC的三边长．
（1）若a，b，c满足|a-b| （b-c）^2=0，试判断△ABC的形状；
（2）若a，b，c满足（a-b）（b-c）=0，试判断△ABC的形状；
（3）化简：|a b-c| |b-c-a|．
分析：（1）绝对值和平方都具有非负性，两个非负数加起来要等于0，那么说明两个代数式都要等于0；
（2）两个代数式的乘积等于0，即A·B=0，那么有三种情况：①A=0；②B=0；③A=B=0；
（3）利用三角形的三边关系得到a b-c＞0，b-c-a＜0，然后去绝对值符号后化简。
解：（1）∵|a-b| （b-c）2=0，
∴a-b=0且b-c=0，
∴a=b=c，
∴△ABC为等边三角形；
（2）∵（a-b）（b-c）=0，
∴a-b=0或b-c=0或a-b=0，b-c=0，
∴a=b或b=c或a=b=c，
∴△ABC为等腰三角形或等边三角形；
（3）∵a，b，c是△ABC的三边长，
∴a b-c＞0，b-c-a＜0，
∴原式=a b-c-（b-c-a）=a b-c-b c a=2a．
此题考查三角形的三边关系和三角形分类，利用三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，建立不等式解决问题。
例题2：常见的分解因式的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，而有的多项式既没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的调整能构成可分解的一组，用分组来分解一个多项式的因式，这种方法叫分组分解法．
如x^2 2xy y^2-16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，分解后与后面的部分结合起来又符合平方差公式，可以继续分解，过程为：x^2 2xy y^2-16=（x y）^2-4^2=（x y 4）（x y-4）．
它并不是一种独立的因式分解的方法，而是为提公因式或运用公式分解因式创造条件．阅读材料并解答下列问题：若△ABC的三边a，b，c满足a2-ab-ac bc=0，请判断△ABC的形状并加以说明.
分析：前两项提取公因式a，后两项提取公因式-c，再提取公因式（a-b），得到（a-b）（a-c）=0，从而a=b或a=c或a=b=c，从而得出答案。
解：△ABC是等腰三角形或等边三角形．
理由如下：∵a^2-ab-ac bc=0，
∴a（a-b）-c（a-b）=0，
∴（a-b）（a-c）=0，
∴a=b或a=c或a=b=c，∴△ABC是等腰三角形或等边三角形．
本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键。
知识点三：完全平方公式例题3：已知a、b、c为△ABC的三边，且（a-1）2 （b-1）2 c2=2c-1，试判断△ABC的形状，并说明理由．
分析：先把等号右边的移项，会发现c^2-2c 1是完全平方式，然后再进行计算即可．
解：△ABC是等边三角形，
理由是：∵（a-1）^2 （b-1）^2 c^2=2c-1，
∴（a-1）^2 （b-1）^2 c^2-2c 1=0，
∴（a-1）^2 （b-1）^2 （c-1）^2=0，
∴a-1=0，b-1=0，c-1=0，
∴a=1，b=1，c=1，
∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．
例题4：△ABC中，如果∠A ∠B=∠C，判断△ABC形状
分析：在△ABC中，∠A ∠B=∠C，∠A ∠B ∠C=180°可求出∠C的度数，进而得出结论。
解：∵在△ABC中，∠A ∠B=∠C，∠A ∠B ∠C=180°，
∴2∠C=180°，解得∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形．
例题5：在△ABC中，∠A=∠B，∠A ∠C=3∠B，则△ABC的形状
分析：由∠A ∠C=3∠B，∠A ∠B ∠C=180°，求出∠B的度数，进而求出∠A与∠C的度数即可判断。
解：∵∠A ∠C=3∠B，∠A ∠B ∠C=180°，
∴∠B 3∠B=180°，
∴∠B=45°，∴∠A=∠B=45°，∴∠C=90°，
∴△ABC是等腰直角三角形。
例题6：在△ABC中，若∠A：∠B：∠C=1：2：3，则该三角形的形状
分析：根据比例设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，然后根据三角形内角和定理列式进行计算求出k值，再求出最大的角∠A即可得解．
解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k 3k 2k=180°，∴k=30°，∴∠C=3k=90°，∴该三角形的形状是直角三角形。
这些题目考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键。
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