如图所示（图1），
图一
在一个水平光滑的平面上，有两个质量分别为m₁,m₂的物体分别以v₁,v₂的速度进行运动（m₁m₂为定值），则可知两物体的总动能为EK=½m₁·v₁² ½m₂·v₂²，总动量为p= m₁·v₁ m₂·v₂，如果这两个方程放入平面直角坐标系，那么我们能得到一个椭圆和一条直线，为了能够引入π这个值，我们令x=√(m₁) v₁，y=√(m₂) v₂，则我们可以得到方程组（图二）
图二
放入平面直角坐标系中可以得到（图三）。
图三
动量方程式的斜率k=-√（m₁/m₂）。易知，由于动量动能要同时满足“守恒”条件，所以物体运动状态只可能是图中的点A或点B，当物体以A点的运动状态运动并且发生碰撞时，运动状态会改为B点，反之会从B点变为A点。
第二部分：物块撞击分析如图所示（图四），
图四
质量为m₁的物体以v₁的速度撞击静止且质量为m₂的物体（m₁>m₂），将质量为m₁的物体称为A，质量为m₂的物体称为B，两个物体会继续运动，直至两物体全部往右边运动且A此时的速度大于B此时的速度，计算两个物块相互的撞击次数与B撞墙的次数。首先一开始，B的速度为0，所以此时的y=0，则运动状态为如图所示（图五）的A点，
图五
两个物体第一次撞击后运动状态改为B点。接着B将会和墙相撞，此时由于速度是矢量且物体B被反弹，速度大小不变方向相反，所以v₂取相反数，v₁不变，所以运动状态改与与B关于x轴对称的C点（图六）。
图六
接着A再次与B相撞时，由于斜率没变，所以会碰撞至D点。同理再次作对称点，这样操作几轮后，如图（图七），
图七
当直线与圆只有一个交点的时候，碰撞结束。
第三部分：求出物块撞击次数如图所示（图八），
图八
过A点作圆的切线，令∠EAB=β，由斜率定义可知tan(π/2-β)=cotβ=k，由弦切角定理可知弦AB所对的角等于2β，又由弧度制定义，可得弧AB=2βr。同理，弧AC=弧BD=2βr，而最后一段弧由于弦切角≤β（若大于，则应当还可以相撞），则最后一段弧<2βr。令碰撞次数=L，则有2β·Lr<2πr，2β·(L 1)r≥2πr（若不清楚等号位置可以取k=1并作图后容易得出）。整理后可得π/β-1≤L<π/β。验证：当m₁/m₂=1时，cotβ=1，β=45°，此时3≤L<4，L=3。同理m₁/m₂=100时，cotβ=100，L=31，m₁/m₂=10000时，L=314，m₁/m₂=1000000，L=3141。
第四部分：撞击次数L与π的值的关系当β→0时，有cotβ≈1/β=k=-√（m₁/m₂）（余切函数图像），故由π/β-1≤L<π/β可推得π×√（m₁/m₂）-1≤L＜π×√（m₁/m₂），此时若√（m₁/m₂）为10的倍数，则L就为π×这个是10的倍数的整数部分。
(秋天的金枪鱼- Day21 来自“秋天的金枪鱼”的“fish like forest”)
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