利用导数求函数单调性题(高考数学的高分保证)(1)

函数的单调性,高考数学考纲对这个考点提出要求是:

理解函数单调性定义,并利用函数单调性的定义判断或证明函数在给定区间的单调性;

会判断复合函数的单调性。

同时要学会将函数的性质与函数的概念、图象等进行综合,这一直是历年高考数学的重点和热点之一。

函数的单调区间是函数定义域的子区间,所以求解函数的单调区间,必须先求出函数的定义域。对于基本初等函数的单调区间可以直接利用已知结论求解,如二次函数、对数函数、指数函数等;如果是复合函数,应根据复合函数的单调性的判断方法,首先判断两个简单函数的单调性,再根据“同则增,异则减”的法则求解函数的单调区间。

求函数的单调区间的常用方法:

1、利用已知函数的单调性,即转化为已知函数的和、差或复合函数,求单调区间;

2、定义法:先求定义域,再利用单调性定义;

3、图象法:如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,可由图象的直观性写出它的单调区间;

4、导数法:利用导数的正负确定函数的单调区间。

利用导数求函数单调性题(高考数学的高分保证)(2)

典型例题分析1:

定义在(0, ∞)上的函数f(x),总有f′(x)>f(x) ex﹣lnx成立,且f(2)=e2﹣2,则不等式f(x)≥ex﹣2的解集为   .

利用导数求函数单调性题(高考数学的高分保证)(3)

考点分析:

利用导数研究函数的单调性.

题干分析:

由题意构造辅助函数g(x)=ex﹣lnx﹣2,求导,g′(x)<0,函数单调递减,g′(x)>0,函数单调递增,求得g(x)的最小值,再构造辅助函数h(x)=[f(x) 2]/ex,求导,求得h′(x)≥0,h(x)在(0, ∞)上递增,即f(x)≥ex﹣2,由f(2)=e2﹣2,得h(x)≥h(2),即可求得不等式的解集.

利用导数求函数单调性题(高考数学的高分保证)(4)

​典型例题分析2:

已知函数f(x)=ex(其中e是自然数的底数),g(x)=x2 ax 1,a∈R.

(1)记函数F(x)=f(x)•g(x),且a>0,求F(x)的单调增区间;

(2)若对任意x1,x2∈[0,2],x1≠x2,均有|f(x1)﹣f(x2)|>|g(x1)﹣g(x2)|成立,求实数a的取值范围.

解:(1)y=f(x)•g(x)=(x2 ax 1)•ex,

∴F'(x)=[x2 (a 2)x (a 1)]ex,

令F'(x)=0,则x2 (a 2)x (a 1)=0,

即[x (a 1)](x 1)=0,解得x=﹣1,或x=﹣a﹣1

∵a>0,∴﹣a﹣1<﹣1,

∵x∈[﹣a﹣1,﹣1]时,

y'<0,x∈(﹣∞,﹣a﹣1)和(﹣1, ∞)时,y'>0,

∴函数F(x)的单调增区间为(﹣∞,﹣a﹣1)和(﹣1, ∞),

(2)设x1<x2,因为f(x)=ex在[0,2]单调递增,

故原不等式等价于|f(x1)﹣f(x2)|<g(x2)﹣g(x1)

在x1、x2∈[0,2],且x1<x2恒成立,

所以g(x1)﹣g(x2)<f(x1)﹣f(x2)<g(x2)﹣g(x1)

在x1、x2∈[0,2],且x1<x2恒成立,

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考点分析:

利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数的最值.

题干分析:

(1)求出函数的导数,即可求函数f(x)的单调区间;

(2)设x1<x2,因为g(x)=ex在[0,2]单调递增,故原不等式等价于|f(x1)﹣f(x2)|<g(x2)﹣g(x1)在x1、x2∈[0,2],且x1<x2恒成立,当a≥﹣(ex 2x)恒成立时,a≥﹣1;当a≤ex﹣2x恒成立时,a≤2﹣2ln2,综合讨论结果,可得实数a的取值范围.

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