一、基本概念和知识
1.奇数和偶数
整数可以分成奇数和偶数两大类.能被2整除的数叫做偶数，不能被2整除的数叫做奇数。
偶数通常可以用2k（k为整数）表示，奇数则可以用2k 1（k为整数）表示。
特别注意，因为0能被2整除，所以0是偶数。
2.奇数与偶数的运算性质
性质1：偶数±偶数=偶数，
奇数±奇数=偶数。
性质2：偶数±奇数=奇数。
性质3：偶数个奇数相加得偶数。
性质4：奇数个奇数相加得奇数。
性质5：偶数×奇数=偶数，
奇数×奇数=奇数。
二、例题
利用奇数与偶数的这些性质，我们可以巧妙地解决许多实际问题.
例1 1 2 3 … 1993的和是奇数？还是偶数？
分析 此题可以利用高斯求和公式直接求出和，再判别和是奇数，还是偶数.但是如果从加数的奇、偶个数考虑，利用奇偶数的性质，同样可以判断和的奇偶性.此题可以有两种解法。
例2 一个数分别与另外两个相邻奇数相乘，所得的两个积相差150，这个数是多少？
解法1：∵相邻两个奇数相差2，
∴150是这个要求数的2倍。
∴这个数是150÷2=75。
解法2：设这个数为x，设相邻的两个奇数为2a 1，2a-1（a≥1）.则有
（2a 1）x-（2a-1）x=150，
2ax x-2ax x=150，
2x=150，
x=75。
∴这个要求的数是75。
例3 元旦前夕，同学们相互送贺年卡.每人只要接到对方贺年卡就一定回赠贺年卡，那么送了奇数张贺年卡的人数是奇数，还是偶数？为什么？
分析 此题初看似乎缺总人数.但解决问题的实质在送贺年卡的张数的奇偶性上，因此与总人数无关。
解：由于是两人互送贺年卡，给每人分别标记送出贺年卡一次.那么贺年卡的总张数应能被2整除，所以贺年卡的总张数应是偶数。
送贺年卡的人可以分为两种：
一种是送出了偶数张贺年卡的人：他们送出贺年卡总和为偶数。
另一种是送出了奇数张贺年卡的人：他们送出的贺年卡总数=所有人送出的贺年卡总数-所有送出了偶数张贺年卡的人送出的贺年卡总数=偶数-偶数=偶数。
他们的总人数必须是偶数，才使他们送出的贺年卡总数为偶数。
所以，送出奇数张贺年卡的人数一定是偶数。
例4 已知a、b、c中有一个是5，一个是6，一个是7.求证a-1，b-2，c-3的乘积一定是偶数。
证明：∵a、b、c中有两个奇数、一个偶数，
∴a、c中至少有一个是奇数，
∴a-1，c-3中至少有一个是偶数。
又∵偶数×整数=偶数，
∴（a-1）×（b-2）×（c-3）是偶数。
例7 桌上有9只杯子，全部口朝上，每次将其中6只同时“翻转”.请说明：无论经过多少次这样的“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
解：要使一只杯子口朝下，必须经过奇数次“翻转”.要使9只杯子口全朝下，必须经过9个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是，按规定每次翻转6只杯子，无论经过多少次“翻转”，翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”，都不能使9只杯子全部口朝下。
例8 假设n盏有拉线开关的灯亮着，规定每次拉动（n-1）个开关，能否把所有的灯都关上？请证明此结论，或给出一种关灯的办法。
证明：当n为奇数时，不能按规定将所有的灯关上。
因为要关上一盏灯，必须经过奇数次拉动它的开关。
由于n是奇数，所以n个奇数的和=奇数，
因此要把所有的灯（n盏）都关上，拉动拉线开关的总次数一定是奇数。
但因为规定每次拉动n-1个开关，且n-1是偶数，
故按规定拉动开关的总次数一定是偶数。
∵奇数≠偶数，
∴当n为奇数时，不能按规定将所有灯都关上。
当n为偶数时，能按规定将所有灯关上.关灯的办法如下：
设灯的编号为1，2，3，4，…，n.做如下操作：
第一次，1号灯不动，拉动其余开关；
第二次，2号灯不动，拉动其余开关；
第三次，3号灯不动，拉动其余开关；
…
第n次，n号灯不动，拉动其余开关.这时所有的灯都关上了。
例9 在圆周上有1987个珠子，给每一珠子染两次颜色，或两次全红，或两次全蓝，或一次红、一次蓝.最后统计有1987次染红，1987次染蓝.求证至少有一珠子被染上过红、蓝两种颜色。
证明：假设没有一个珠子被染上过红、蓝两种颜色，即所有珠子都是两次染同色.设第一次染m个珠子为红色，第二次必然还仅染这m个珠子为红色.则染红色次数为2m次。
∵2m≠1987（偶数≠奇数）
∴假设不成立。
∴至少有一个珠子被染上红、蓝两种颜色。
例11 某校六年级学生参加区数学竞赛，试题共40道，评分标准是：答对一题给3分，答错一题倒扣1分.某题不答给1分，请说明该校六年级参赛学生得分总和一定是偶数。
解：对每个学生来说，40道题都答对共得120分，是个偶数.如果答错一道，相当于从120分中扣4分.不论答错多少道，扣分的总数应是4的倍数，即扣偶数分.从120里减去偶数.差仍是偶数.同样，如果有某题不答，应从120里减去（3-1）分.不论有多少道题没答，扣分的总数是2的倍数，也是偶数.所以从120里减去偶数，差仍是偶数.因此，每个学生得分数是偶数，那么全年级参赛学生得分总和也一定是偶数.
例14 线段AB有两个端点，一个端点染红色，另一个端点染蓝色.在这个AB线段中间插入n个交点，或染红色，或染蓝色，得到n＋1条小线段（不重叠的线段）.试证：两个端点不同色的小线段的条数一定是奇数。
证明：当在AB中插入第一点时，无论红或蓝色，两端色不同的线段仍是一条。
插入第二点时有三种情况：
①插入点在两端不同色的线段中，则两端不同色线段条数不变。
②插入点在两端同色的线段中，且插入点颜色与线段端点颜色相同，则两端不同色线段条数不变。
③插入点在两端同色的线段中，但插入点颜色与线段端点颜色不同，则两端不同色线段条数增加两条。
因此插入第二个点时端点不同色的线段数比插入第一个点时端点不同色的线段数（=1）多0或2，因此是奇数（1或3）。
同样，每增加一个点，端点不同色的线段增加偶数（0或2）条.因此，无论n是什么数，端点不同色的线段总是奇数条。
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