本篇为说明在小学阶段，能被1-12各数整除的数的性质，掌握这些性质，对我们加快做题速度，增加做题的准确性都有很大帮助。
一、数的整除性质
能被1整除：全体自然数；
能被2整除：偶数
能被3整除：各个数位上数字和能被3整除，这个数就能被3整除；
能被4整除：末两位能被4整除，这个数就能被4整除；
能被5整除：尾数是0或5；
能被6整除：能被3整除的偶数；
能被7整除：若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除（割尾法）；
这个数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（反过来也行）能被7整除。这个数就能被7整除；（去位相减法）
二、解释
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为什么末两位能被4整除，这个数就能被4整除？
回答：这个数小于100时，最高位只到十位，当然成立；
大于100时，我们可以设这个数为100*K AB（AB本应该是上划线的，但因打不出，此处用斜体和下划线表示，AB为一个两位数），K=1时，这个数为1AB，K=2时，这个数为2AB，K=10时，这个数为10AB，以此类推；
很明显，100*K是可以被4整除的，如果AB也可以被4整除，那么100*K AB=4*（25K CD)（AB=4*CD，CD为整数），即能被4整除。
整除8同理。
2. 能被7、11、13整除，均可以用割尾法、去位相减法，但黄老师不建议使用，因为在我们小学阶段，一般不会出现位数很多的数，用上述两种方法，不见得会比直接除方便。
3. 记法：
整除1、2很简单，不用单独记
整除3、9一起记，均是各个数位和；
整除4、8一起记，均是看末几位；
整除5、10一起记，均是看尾数；
整除6、12一起记，均是能满足同时整除2个数；
整除11，特殊，单独记；
整除7、13，一般不要求掌握
三、一般性质
1. 如果a、b都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。（下面“｜”代表“后面的数能被前面的数整除”的意思）
即：如果c｜a，c｜b，那么c｜（a±b）。
例如：如果2｜10，2｜6，那么2｜（10＋6），并且2｜（10—6）。
2. 如果b与c的积能整除a，那么b与c都能整除a。
即：如果bc｜a，那么b｜a，c｜a。
3. 如果b、c都能整除a，且b和c互质，那么b与c的积能整除a。
即：如果b｜a，c｜a，且（b，c）=1，那么bc｜a。
例如：如果2｜28，7｜28，且（2，7）=1,
那么（2×7）｜28。
4. 如果c能整除b，b能整除a，那么c能整除a。
即：如果c｜b，b｜a，那么c｜a。
例如：如果3｜9，9｜27，那么3｜27。
三、应用
例1：判断1023456789这十位数能否被11整除？
解：奇位和：1 2 4 6 8=21，偶位和：0 3 5 7 9=24
24-21=3，不能被11 整除，所以这个十位数不能被11整除
注：这里的奇位是指这个数的第一位、第三位、第五位等，并不是数字是奇数就是奇位，从左开始和从右开始都可以。
例2：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
例3：在865后面补上三个数字，组成一个六位数，使它能分别被3、4、5整除，且使这个数值尽可能的小。
解：要求一：数字和（8 6＋5 a b c）是3的倍数。
要求二：末两位能被4整除
要求三，末位数字c是0或5。
综上：能被4整除的数的个位数不可能是5。
所以c只能取0.
因而b只能取自0，2，4，6，8中之一。
又因为8 6 5=19，19除以3余1，所以，要求a b c即a b 0除以3余2
为满足题意“数值尽可能小”，只需取a=0，b=2。
所以要求的六位数是865020。
例4：12345678987654321除本身之外的最大因数是？
此题略过，如有问题，可以公众号里提问。
例5：7_64_2，这个6位数能被72整除，求这个6位数？
解：根据上文中一般性质的第2条，能被72整除，一定能被8和9同时整除
因末三位中只有一个数未知，故可先确定整除8；
即4_ 2可以整除8，易知，此处下划线内填3；
再看整除9，除万位外，各个数位数字和=7 6 4 3 2=22，所以万位上填5。
