大家好!本文和大家分享一道1963年全国高考的数学真题。

1963年高考的时间为7月15日、16日、17日共三天,而当年的数学卷共有10道大题,每题10分,满分100分。题量虽然不大,但是10道题全部是解答题,考生连蒙的机会都没雨。

历年高考数学几何大题(一道1963年高考数学真题)(1)

本文分享的是当年数学卷的第6题,解方程:sin3x-sinx cos2x=0。

对于现在的学生来说,这道题的难度还是非常大的,甚至拿到班上让高三学生做了一下,不少学霸都懵了,能做出来的只有极少数。下面介绍本题的3种解法供大家参考。

历年高考数学几何大题(一道1963年高考数学真题)(2)

解法一:和差化积

和差化积与积化和差是以前三角恒等变换的重要内容,但是现在已经被移除了人教版高中数学教材,那么我们先看一下和差化积的公式:

历年高考数学几何大题(一道1963年高考数学真题)(3)

根据上面的公式,很明显可以将sin3x和sinx进行处理,得到2cos2xsinx,然后再提公因式cos2x,得到cos2x(2sinx 1)=0,即cos2x=0或2sinx 1=0。

当cos2x=0时,2x=kπ π/2,从而解出x的取值。

当2sinx 1=0时,sinx=-0.5,则x=2kπ 7π/6或者x=2kπ-π/6。

历年高考数学几何大题(一道1963年高考数学真题)(4)

解法二:三倍角公式和二倍角公式

题目中出现了三倍角和二倍角,所以直接先用三倍角公式和二倍角公式进行变换。

三倍角正弦公式:sin3x=3sinx-4(sinx)^3;

二倍角余弦公式:cos2x=(cosx)^2-(six)^2=2(cosx)^2-1=1-2(sinx)^2。

因为三倍角正弦变换后都是正弦,且题目中还有sinx,所以cos2x也就用含正弦的那个形式。最后化简得到:

(2sinx 1)[2(sinx)^2-1]=0,即2sinx 1=0或者2(sinx)^2-1=0。

对于2(sinx)^2-1=0,可以利用倍角公式化为cos2x=0来计算,也就是同解法一。还可以直接解出sinx的值,进而求出x的值。

历年高考数学几何大题(一道1963年高考数学真题)(5)

解法三:两角和正弦公式、倍角公式

在不知道和差化积和三倍角公式的情况下,可以先用两角和的正弦公式对3x进行处理。

即sin3x=sin(x 2x)=sinxcos2x cosxsin2x=sinxcos2x cosx·2sinxcosx=sinxcos2x sinx·2(cosx)^2。

处理到这一步后,再将sinx·2(cosx)^2和sinx作为一组进行变换,即:sinx·2(cosx)^2-sinx=sinx[2(cosx)^2-1]=sinxcos2x。这样一来,再提公因式cos2x就得到:cos2x(2sinx 1)=0。后面的解法就同解法一了。

历年高考数学几何大题(一道1963年高考数学真题)(6)

对于现在的学生来说,他们没有学习和差化积和三倍角公式,所以这道题的难度就在于对3x这个三倍角的处理,也是难住不少学霸的地方。

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