本章梳理

1、两直线的位置关系

1.1 对顶角、补角和余角【北师大版数学】相交线与平行线知识小结

1.2 垂线

2、平行线的判定

1.同位角相等,两直线平行。

2.内错角相等,两直线平行。

3.同旁内角互补,两直线平行。

3、平行线的性质

1.两条直线平行,同位角相等。

2.两条直线平行,内错角相等。

3.两条直线平行,同旁内角互补。

4、尺规作图

用尺规作一个角等于已知角

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(1)

思维导图

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(2)

知识清单

知识点一、相交线

1.对顶角、邻补角

两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系,它们的概念及性质如下表:

图形

顶点

边的关系

大小关系

对顶角

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(3)

有公共顶点

∠1的两边与

∠2的两边互为反向延长线

对顶角相等

即∠1=∠2

邻补角

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(4)

有公共顶点

∠3与∠4有一条边是公共边,另一条边互为反向延长线.

邻补角互补即

∠3 ∠4=180°

特别说明:

⑴对顶角是成对出现的,对顶角是具有特殊位置关系的两个角.对顶角的特征:有公共顶点,角的两边互为反向延长线.

⑵如果∠α与∠β是对顶角,那么一定有∠α=∠β;反之如果∠α=∠β,那么∠α与∠β不一定是对顶角.

⑶如果∠α与∠β互为邻补角,则一定有∠α ∠β=180°;反之如果∠α ∠β=180°,则∠α与∠β不一定是邻补角.邻补角的特征:有公共顶点,有一条公共边,另一边互为反向延长线.

⑶两直线相交形成的四个角中,每一个角的邻补角有两个,而对顶角只有一个.

2.垂线及性质、点到直线的距离

(1)垂线的定义:

当两条直线相交所成的四个角中,有一个角是直角时,就说这两条直线互相垂直,其中的一条直线叫做另一条直线的垂线,它们的交点叫做垂足.如图1所示,符号语言记作:AB⊥CD,垂足为O.

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(5)

特别说明:

要判断两条直线是否垂直,只需看它们相交所成的四个角中,是否有一个角是直角,两条线段垂直,是指这两条线段所在的直线垂直.

(2)垂线的性质:

垂线性质1:在同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 (与平行公理相比较记).

垂线性质2:连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短.

(3)点到直线的距离:

直线外一点到这条直线的垂线段的长度,叫做点到直线的距离,如图2:PO⊥AB,点P到直线AB的距离是垂线段PO的长.

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(6)

特别说明:垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条.

知识点二、平行线

1.平行线的判定

判定方法1:同位角相等,两直线平行.

判定方法2:内错角相等,两直线平行.

判定方法3:同旁内角互补,两直线平行.

特别说明:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的判定方法还有:

(1)平行线的定义:在同一平面内,如果两条直线没有交点(不相交),那么两直线平行.

(2)如果两条直线都平行于第三条直线,那么这两条直线平行(平行线的传递性).

(3)在同一平面内,垂直于同一直线的两条直线平行.

(4)平行公理:经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行.

2.平行线的性质

性质1:两直线平行,同位角相等;

性质2:两直线平行,内错角相等;

性质3:两直线平行,同旁内角互补.

特别说明:根据平行线的定义和平行公理的推论,平行线的性质还有:

(1)若两条直线平行,则这两条直线在同一平面内,且没有公共点.

(2)如果一条直线与两条平行线中的一条直线垂直,那么它必与另一条直线垂直.

3.两条平行线间的距离

如图3,直线AB∥CD,EF⊥AB于E,EF⊥CD于F,则称线段EF的长度为两平行线AB与CD间的距离.

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(7)

特别说明:

(1)两条平行线之间的距离处处相等.

(2)初中阶级学习了三种距离,分别是两点间的距离、点到直线距离、平行线间的距离.这三种距离的共同点在于都是线段的长度,它们的区别是两点间的距离是连接这两点的线段的长度,点到直线距离是直线外一点的已知直线的垂线段的长度, 平行线间的距离是一条直线上的一点到与之平行的另一直线的距离.

(3)如何理解 “垂线段”与 “距离”的关系:垂线段是一个图形,距离是线段的长度,是一个量,它们之间不能等同.

知识点三、尺规作图

1.尺规作图的定义

尺规作图是指用没有刻度的直尺和圆规作图。

特别说明:

直尺的功能

(1)在两点间连接一条线段;

(2)过平面上的两点画直线;

(3)作射线或线段.

圆规的功能

(1)以任意一点为圆心,任意长为半径作圆或圆弧;

(2)在直线上截取一条线段,使它等于已知线段.

2.做一个角等于已知角

华师大版数学相交线与平行线(相交线与平行线知识小结)(8)

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