微分和导数的算法（数学分析之微分与导数）

微分和导数的算法（数学分析之微分与导数）(1)

在数学史上，微积分的创立是继Euclid几何之后的最伟大的创造之一。微积分首先解决了当时17世纪的四类科学问题：1.已知加速度-时间函数，求物体的速度和移动距离；2.求曲线的切线；3.求函数的最值；4.求曲线弧长，曲线围成的面积等。

今天，我们就来学习微积分中的微分与导数。

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第1节，讲微分和导数的概念：

设f(x)在邻域U(x0)中有定义，当给一个增量Δx，满足Δx x0 ∈U(x0)时，可以得到函数的增量Δy=f(Δx x0)-f(x0)，如果存在与Δx无关的常数A ,使得可以表示为Δy=A*Δx o(Δx)，那么就说f(x)在点x0可微，A*Δx是函数在x0的微分，记作dy|x=x0 = A*Δx。我们可以看出，微分是一个增量的线性函数，微分dy 与增量Δy 与高阶无穷小o(Δx)存在关系：Δy = dy o(Δx)。注意这里可微是点态的
可微-连续定理：若f(x)在x0可微，则函数在x0连续。
设f(x)在邻域U(x0)中有定义，若极限 lim [(f(x0 Δx)-f(x0))/Δx] Δx->0 存在，则称f(x)在点x0可导，该极限值称为函数在x0的导数，记作f`(x0)。这里的定义也是点态的。
可以看出，极限，沟通了可导与可微，lim Δy/Δx Δx->0 = lim {A*Δx o(Δx))/Δx =A Δx->0
导数是是通过极限来描述的，极限分左极限和右极限，不难得出，导数分为左导数和右导数，左右导数统称为单侧导数
导数存在定理：导数f`(x0)存在 <==> 该点的左右导数都存在且相等，即 f`-(x0) = f` (x0)
可微-可导定理：f(x)在x0可微 <==> f(x）在x0可导，且 A=f`(x0)；即是 Δy=f`(x0)Δx o(Δx), 有限增量公式
根据可微-连续定理和可微-可导，得出：若f在x0可导，则在x0处连续。反映了可微，可导，连续的关系。
导函数，简称导数：若函数f 在区间I每一点都可导，则称f在I上的可导函数。提醒，每一点可导，可以推出每一点连续，可以得出一致连续，即在I上的可导函数，是I上的一致连续函数，注意与之前的知识连续，连续性与导数，微分关系密切。

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第2节，讲求导方法和导数公式：

定义法求导：lim (f(x)-f(x0))/(x-x0) x->x0
导数的四则运算，与函数极限的四则运算类似。
加减法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)±v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)±v`(x0)
乘法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，则函数f(x)=u(x)v(x) 在x0 处可导，且f`(x0)=u`(x0)v(x0) u(x0)v`(x0)
推论：若函数v(x)都在x0可导，C为常数，则函数Cv(x) 在x0 处可导，且(Cv(x0))`=Cv`(x0)
除法定理：若函数u(x),v(x)都在x0可导，且v(x0)≠0，则函数f(x)=u(x)/v(x) 在x0 处可导，且
f`(x0)=[u`(x0)v(x0)-u(x0)v`(x0)]/(v(x0))^2
反函数求导定理：设y=f(x) 为 x=φ(y)的反函数，若φ(y)在点y0的某邻域内连续，严格单调，且φ`(y0)≠0，则f(x)在x0上可导，且f`(x0)=1/φ`(y0)
复合求导定理：y=f(u)在u0可导，u=g(x)在x0可导，u0=g(x0)，则复合函数fOg在x0处可导，且(fOg)`(x0)=f`(u0)·g'(x0)=f'(g(x0))·g`(x0)，这也称为链式法则。

第3节，讲微分的计算与应用：根据导数法则，dy=f`(x)dx x∈I，不难推出微分运算法则

d[u(x)±v(x)]=du(x)±dv(x)
d[u(x)·v(x)] =v(x)·du(x) u(x)·dv(x)
d[u(x)/v(x)]=(v(x)du(x)-u(x)dv(x))/v^2(x)
d[fOg(x)]=f`(u)g'(x)dx，其中u=g(x)，du=g`(x)dx，这个称为一阶微分形式不变性，可用于推导积分换元公式。
应用：工程上的近似计算，取x0=0,Δx=x，在x0=0 附近，f(x)≈f(0) f`(0)x,当|x|充分小，sinx≈x,tanx≈x,ln(1 x)≈x,1/(1 x) ≈ 1-x,e^x ≈ 1 x ；也用在测量误差

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