1.想 数 码 例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置某同学的答数是16246试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由) 思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数 相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15所以该同学的加法做错了正确答案是 思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的 不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置” 2.尾数法 例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小 由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3 知 1222×1222＞1221×1223 例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同求这两个数 由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4 由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3 甲数是348，乙数是34 例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立，下面我们就来说一说关于小学数学解题方法集锦?我们一起去了解并探讨一下这个问题吧!
小学数学解题方法集锦
1.想 数 码 例如，1989年“从小爱数学”邀请赛试题6：两个四位数相加，第一个四位数的每一个数码都不小于5，第二个四位数仅仅是第一个四位数的数码调换了位置。某同学的答数是16246。试问该同学的答数正确吗？(如果正确，请你写出这个四位数；如果不正确，请说明理由)。 思路一：易知两个四位数的四个数码之和相等，奇数＋奇数＝偶数，偶数＋偶数＝偶数，这两个四位数相加的和必为偶数。 相应位数两数码之和，个、十、百、千位分别是17、13、11、15。所以该同学的加法做错了。正确答案是 思路二：每个数码都不小于5，百位上两数码之和的11只有一种拆法5＋6，另一个5只可能与8组成13，6只可能与9组成15。这样个位上的两个数码，8＋9＝16是不可能的。 不要把“数码调换了位置”误解为“数码顺序颠倒了位置。” 2.尾数法 例1 比较 1222×1222和 1221×1223的大小。 由两式的尾数2×2＝4，1×3＝3，且4＞3。 知 1222×1222＞1221×1223 例2 二数和是382，甲数的末位数是8，若将8去掉，两数相同。求这两个数。 由题意知两数的尾数和是12，乙数的末位和甲数的十位数字都是4。 由两数十位数字之和是8－1＝7，知乙数的十位和甲数的百位数字都是3。 甲数是348，乙数是34。 例3 请将下式中的字母换成适当的数字，使算式成立。
由3和a5乘积的尾数是1，知a5只能是7； 由3和a4乘积的尾数是7－2＝5，知a4是5；……不难推出原式为 142857×3＝428571。 3.从较大数想起 例如，从1～10的十个数中，每次取两个数，要使其和大于10，有多少种取法？ 思路一：较大数不可能取5或比5小的数。 取6有6＋5； 取7有7＋4，7＋5，7＋6； ………………………………………… 取10有九种 10＋1，10＋2，……10＋9。 共为 1＋3＋5＋7＋9＝25(种)。 思路二：两数不能相同。较小数为1的只有一种取法1＋10；为2的有2＋9，2＋10；……较小数为9的有9＋10。 共有取法1＋2＋3＋4＋5＋4＋3＋2＋1＝25(种) 这是从较小数想起，当然也可从9或8、7、……开始。 思路三：两数和最大的是19。两数和大于10的是11、12、…、19。 和是11的有五种1＋10，2＋9，3＋8，4＋7，5＋6；和是11～19的取法 5＋4＋4＋3＋3＋2＋2＋1＋1＝25(种)。 4.想大小数之积
用最大与最小数之积作内项(或外项)的积，剩的相乘为外项(或内项)的积，由比例基本性质知
交换所得比例式各项的位置，可很快列出全部的八个比例式。
5.由得数想 例如，思考题：在五个0.5中间加上怎样的运算符号和括号，等式就成立？其结果是 0，0.5，1，1.5，2。 从得数出发，想： 两个相同数的差，等于0； 一个数加上或减去0，仍等于这个数； 一个因数是0，积就等于0； 0除以一个数(不是0)，商等于0； 两个相同数的商为1； 1除以0.5，商等于2；…… 解法很多，只举几种： (0.5－0.5)×0.5×0.5×0.5＝0 0.5－0.5－(0.5－0.5)×0.5＝0 (0.5＋0.5＋0.5)×(0.5－0.5)＝0\ (0.5＋0.5－0.5－0.5)×0.5＝0 (0.5－0.5)×0.5×0.5＋0.5＝0.5 0.5＋0.5＋0.5－0.5－0.5＝0.5 (0.5＋0.5)×(0.5＋0.5—0.5)＝0.5 (0.5＋0.5)×0.5＋0.5－0.5＝0.5 (0.5－0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1 0.5÷0.5＋(0.5－0.5)×0.5＝1 (0.5－0.5)÷0.5＋0.5＋0.5＝1 (0.5＋0.5)÷0.5－(0.5＋0.5)＝1 0.5－0.5＋0.5＋0.5÷0.5＝1.5 (0.5＋0.5)×0.5＋0.5＋0.5＝1.5 0.5＋0.5＋0.5＋0.5－0.5＝1.5 0.5÷0.5＋0.5÷0.5－0.5＝1.5 0.5÷0.5÷0.5＋0.5－0.5＝2 (0.5＋0.5)÷0.5＋0.5－0.5＝2 (0.5＋0.5＋0.5－0.5)÷0.5＝2 [(0.5＋0.5)×0.5＋0.5]÷0.5＝2
.想平均数
思路一：由“任意三个连续自然数的平均数是中间的数”。设第一个数为“1”，则中间数占
知这三个数是14、15、16。
二、一个数分别为
16－1＝15， 15－1＝14 或 16－2＝14。 若先求第一个数，则
思路三：设第三个数为“1”，则第二、三个数，
知是15、16。 思路四：第一、三个数的比是7∶8，第一个数是2÷(8－7)×7＝14。 若先求第三个数，则 2÷(8－7)×8＝16。
7.想奇偶数 例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。 例如 1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100 你还能想出不同的添法吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即 1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9 ＝45＋63＝108。 为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。 “减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负“－1”，不能介绍。如果式左变为 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。 ［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。 要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有 12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100， 12－3－4＋5－6＋7＋89＝100， 同理得 12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100， 1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100， 1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100， 123－4－5－6－7＋8－9＝100， 123＋4－5＋67－89＝100， 123－45－67＋89＝100。 为了减少计算。应注意： (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？ 1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。 (2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。 例2 求59～199的奇数和。 由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方 1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2 奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。 例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。 知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。 所求为 10000－841＝9159。 或者 59＝30×2－1，302＝900， 10000－900＋59＝9159。 例1 思考题：在1、2、3、4、5、6、7、8、9九个数字中，不改变它们的顺序、在它们中间添上加、减两种符号，使所得的结果都等于100。 例如 1＋23－4＋5＋6＋78－9＝100123＋45－67＋8－9＝100 你还能想出不同的添法吗？ 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＝45。若去掉7和8间的“＋”，式左为1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9，比原式和增大了78－(7＋8)＝63，即 1＋2＋3＋4＋5＋6＋78＋9 ＝45＋63＝108。 为使其和等于100，式左必须减去8。加4改为减4，即可1＋2＋3－4＋5＋6＋78＋9＝100。 “减去4”可变为“减1、减3”，即－1＋2－3＋4＋5＋6＋78＋9＝100二年级小学生没学过负数“－1”，不能介绍。如果式左变为 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89。 ［12－(1＋2)］＋［89－(8＋9)］＝81。即 12＋3＋4＋5＋6＋7＋89＝45＋81＝100＋26。 要将“＋”变为“－”的数和为13，在3、4、5、6、7中有6＋7，3＋4＋6，因而有 12＋3＋4＋5－6－7＋89＝100， 12－3－4＋5－6＋7＋89＝100， 同理得 12＋3－4＋5＋67＋8＋9＝100， 1＋23－4＋56＋7＋8＋9＝100， 1＋2＋34－5＋67－8＋9＝100， 123－4－5－6－7＋8－9＝100， 123＋4－5＋67－89＝100， 123－45－67＋89＝100。 为了减少计算。应注意： (1)能否在1、23、4、5、6、7、89中间添上加、减(不再去掉某两数间的加号)，结果为100呢？ 1、23、5、7、89的和或差是奇数，4、6的和或差是偶数，奇数±偶数＝奇数，结果不会是100。 (2)有一个是四位数，结果也不可能为100。因为1234减去余下数字组成(按顺序)的最大数789，再减去余下的56，差大于100。 例2 求59～199的奇数和。 由从1开始的连续n个奇数和、等于奇数个数n的平方 1＋3＋5＋7＋……＋(2n－1)＝n2 奇数比它对应的序数2倍少1。用n表示任意一个自然数，它对应的奇数为2n－1。 例如，32对应奇数2×32－1＝63。奇数199，从1起的连续奇数中排列在100(2n－1＝199，n＝100)的位置上。 知1～199的奇数和是1002＝10000。此和包括59，2n－1＝57、n＝29、1～57的奇数和为292＝841。 所求为 10000－841＝9159。 或者 59＝30×2－1，302＝900， 10000－900＋59＝9159。 8.约倍数积法 任意两个自然数的最大公约数与最小公倍数的积，等于这两个自然数的积。 证明：设M、N(都是自然数)的最大公约数为P，最小公倍数为Q、且M、N不公有的因数各为a、b。 那么 M×N＝P×a×P×b。 而 Q＝P×a×b， 所以 M×N＝P×Q。 例1 甲乙两数的最大公约数是7，最小公倍数是105。甲数是21，乙数是多少？
例2 已知两个互质数的最小公倍数是155，求这两个数。 这两个互质数的积为1×155＝155，还可分解为5×31。 所求是1和155，5和31。 例3 两数的最大公约数是4，最小公倍数是40，大数是数的2.5倍，求各数。 由上述定理和题意知两数的积，是小数平方的2.5倍。 小数的平方为4×40÷2.5＝64。 小数是8。 大数是8×2.5＝20。 算理：4×40＝8×20＝8×(8×2.5)＝82×2.5。 9.想 份 数
10巧用分解质因数 例1 四个比1大的整数的积是144，写出由这四个数组成的比例式。 144＝24×32 ＝(22×3)×[(2×3)×2] ＝(4×3)×(6×2) 可组成4∶6＝2∶3等八个比例式。 例2 三个连续自然数的积是4896，求这三个数。 4896＝25×32×17 ＝24×17×(2×32) ＝16×17×18
1728＝26×33＝(22×3)3＝123 385＝5×7×11
例4 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题3：找出1992的所有不同的质因数，它们的和是多少？ 1992＝2×2×2×3×83 2＋3＋83＝88 例5 甲数比乙数大9，两数的积是1620，求这两个数。 1620＝22×34×5 ＝(32×22)×(32×5) 甲数是45，乙数是36。 例6 把14、30、33、75、143、169、4445、4953分成两组，每组四个数且积相等，求这两组数。 八个数的积等于2×7×2×3×5×3×11×3×5×5×11×13×13×13×5×7×127×3×13×127。 每组数的积为2×32×52×7×11×132×127。两组为
例7 600有多少个约数？ 600＝6×100＝2×3×2×2×5×5 ＝23×3×52 只含因数2、3、5、2×3、2×5、3×5、2×3×5的约数分别为： 2、22、23； 3； 5、52； 2×3、22×3、23×3； 2×5、22×5、23×5、2×52、22×52、23×52； 3×5、3×52； 2×3×5、22×3×5、23×3×5、2×3×52、22×3×52、23×3×52。 不含2×3×5的因数的数只有1。 这八种情况约数的个数为； 3＋1＋2＋3＋6＋2＋6＋1＝24。 不难发现解题规律：把给定数分解质因数，写成幂指数形式，各指数分别加1后相乘，其积就是所求约数的个数。(3＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝24。
· 【小学数学解题思路大全】巧想妙算文字题
17.想 法 则 用来说明运算规律(或方法)的文字，叫做法则。 子比分母少16。求这个分数？ 由“一个分数乘以5，是分子乘以5分母不变”，结果是分子的5倍比3倍比分母少16。知 分子的5－3＝2(倍)是2＋16＝18，分子为18÷2＝9，分母为9×5－2＝43或9×3＋16＝43。 18.想 公 式 证明方法： 以分母a，要加(或减)的数为 (2)设分子加上(或减去)的数为x，分母应加上(或减去)的数为y。 19.想 性 质 例1 1992年小学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题6：有甲、乙两个多少倍？ 200÷16＝12.5(倍)。 例2 思考题：三个最简真分数，它们的分子是连续自然数，分母大于10，且它们最小公分母是60；其中一个分数的值，等于另两个分数的和。写出这三个分数。 由“分母都大于10，且最小公分母是60”，知其分母只能是12、15、20；12、15、30；12、15、60。 由“分子是连续自然数”，知分子只能是小于12的自然数。 满足题意的三个分数是 (二)第400个分数是几分之几？ 此题特点： (2)每组分子的排列： 假设某一组分数的分母是自然数n，则分子从1递增到n，再递减到1。分数的个数为n＋n－1＝2n－1，即任何一组分数的个数总是奇数。 (3)分母数与分数个数的对应关系，正是自然数与奇数的对应关系 分母：1、2、3、4、5、…… 分数个数：1、3、5、7、9、…… (4)每组分数之前(包括这组本身)所有分数个数的和，等于这组的组号(这一组的分母)的平方。 例如，第3组分数前(包括第3组)所有分数个数的和是32=9。 10×2－1－6=13(个)位置上。 分别排在81＋7＝88(个)，81＋13=94(个)的位置上。 或者102=100， 100－12=88。 100－6＝94， 88＋6＝94。 问题(二)：由上述一串分数个数的和与组号的关系，将400分成某数的平方，这个数就是第400个分数所在的组数400＝202，分母也是它。 第400个分数在第20组分数中，400是这20组分数的和且正好是20的平方无剩余，故可断定是最后一个，即 若分解为某数的平方有剩余，例如，第415个和385个分数各是多少。 逆向思考，上述的一串分数中，分母是35的排在第几到第几个？ 352－(35×2－1)＋1 ＝1225－69＋1＝1157。 排在1157－1225个的位置上。 20.由规则想 例如，1989年从小爱数学邀请赛试题：接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数字。 例如，8×9＝72，在9后面写2，9×2＝18，在2后面写8，……得到一串数：1989286…… 这串数字从1开始往右数，第1989个数字是什么？ 先按规则多计算几个数字，得1989286884286884……显然，1989后面的数总是不断重复出现286884，每6个一组。 (1989－4)÷6＝330……5 最后一组数接着的五个数字是28688，即第1989个数字是8。 21.用 规 律 例1 第六册P62第14题：选择“＋、－、×、÷”中的符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。 (1)2 2 2 2 2＝0 (2)2 2 2 2 2＝1 …… (10)2 2 2 2 2＝9 解这类题的规律是： 先想用两、三个2列出，结果为0、1、2的基本算式： 2－2＝0，2÷2＝1； 再联想2－2÷2＝1，2×2÷2＝2，2÷2＋2＝3，…… 每题都有几种选填方法，这里各介绍一种： 2÷2＋2÷2－2＝0 2÷2×2－2÷2＝1 2－2＋2÷2×2＝2 2×2＋2÷2－2＝3 2×2×2－2－2＝4 2－2÷2＋2×2＝5 2＋2－2＋2×2＝6 2×2×2－2÷2＝7 2÷2×2×2×2＝8 2÷2＋2×2×2＝9 例2 第六册P63题4：写出奇妙的得数 2＋1×9＝ 3＋12×9＝ 4＋123×9＝ 5＋1234×9＝ 6＋12345×9＝ 得数依次为11、111、1111、11111、111111。此组算式的特点： 第一个加数由2开始，每式依次增加1。第二个加数由乘式组成，被乘数的位数依次为1、12、123、……继续写下去 7＋123456×9=1111111 8＋1234567×9=11111111 9＋12345678×9＝111111111 10＋123456789×9＝1111111111 11＋1234567900×9=11111111111 12＋12345679011×9=111111111111 …… 很自然地想到，可推广为 (1)当n=1、2时，等式显然成立。 (2)设n=k时，上式正确。当n=k＋1时 k＋1＋123…k×9 =k＋1＋[123…(k－1)×10＋k］×9 =k＋1＋123…(k－1)×9×10＋9k =[k＋123…(k－1)×9]×10＋1 根据数学归纳法原理，由(1)、(2)可断定对于任意的自然数n，此等式都成立。 例3 牢记下面两个规律，可随口说出任意一个自然数作分母的，所有真分数的和。 (1)奇数(除1外)作分母的所有真分数的和、是(分母－1)÷2。 =(21－1)÷2=10。 22.巧想条件 比5小，分母是13的最简分数有多少个。 7～64为64－(7－1)＝58(个)，去掉13的倍数13、26、39、52，余下的作分子得54个最简分数。 例2 一个整数与1、2、3，通过加减乘除(可添加括号)组成算式，若结果为24这个整数就是可用的。4、5、6、7、8、9、10中，有几个是可用的。 看结果，想条件，知都是可用的。 4×(1＋2＋3)＝24 (5＋1＋2)×3＝24 6×(3＋2－1)＝24 7×3＋1＋2＝24 8×3÷(2－1)＝24 9×3－1－2＝24 10×2＋1＋3＝24
23.想和不变 无论某数是多少，原分数的分子与分母的和7＋11=18是不变的。 而新分数的分子与分母的和为1＋2=3，要保持原和不变，必同时扩大18÷3＝6(倍)。 某数为7－6＝1或12－11＝1。 24.想和与差 算理，原式相当于 求这个分数。 25.想差不变 分子与分母的差41－35＝6是不变的。新分数的此差是8－7＝1，要保持原差不变，新分数的分子和分母需同时扩大6÷1＝6(倍)。 某数为42－35＝7，或48－41＝7。 与上例同理。23－11＝12，3－1＝2，12÷2＝6， 某数为11－6＝5或23－18＝5。 分子加上3变成1，说明原分数的分子比分母小3。当分母加上2后，分子比分母应小3＋2=5。 26.想差的1/2 对于任意分母大于2的同分母最简真分数来说，其元素的个数一定是偶数，和为这个偶数的一半。分母减去所有非最简真分数(包括分子和分母相同的这个假分数)的个数，差就是这个偶数。 例1 求分母是12的所有最简真分数的和。 由12中2的倍数有6个，3的倍数有4个，(2×3)的倍数2个，知所求数是 例2 分母是105的，最简真分数的和是多少？ 倍数15个，(3×5)、(5×7)、(3×7)的倍数分别是7、3、5个，(3×5×7)的倍数1个。知 105－［(35＋21＋15)－(3＋5＋7)＋1］＝48， 48÷2＝24。 27.借助加减恒等式 个数。 若从中找出和为1的9个分数，将上式两边同乘以2，得 这九个分数是 28.计算比较 例如，九册思考题：1÷11、2÷11、3÷11……10÷11。想一想，得数有什么规律？ …… 可见，除数是11，被除数是1的几倍(倍数不得大于或等于11)，商 17÷11＝(11＋6)÷11＝11÷11＋6÷11 凡商是纯循环小数的除式，都有此规律；不是纯循环小数的，得数不存在这一规律。 不难发现，它们循环节的位数比除数少1，循环数字和顺序相同，只是起点不同。 只要记住1÷7的循环节数字“142857”和顺序，计算时以最大商的数字为起点，顺序写出全部循环节数字，即可。 29.由验算想 例如，思考题：计算1212÷101，……，3939÷303，你能从计算中得到启发，很快说出下面各题的得数？ 4848÷202，7575÷505，…… 3939÷303 ＝(3030＋909)÷303 ＝3030÷303＋909÷303 ＝10＋3＝13 备课用书这种由“除法的分配律”解，要使三年级学生接受，比较困难。 若从“除法的验算”推导 由3939÷303＝( )， 商百位上的3和13相乘才可得39，商个位上的3也必须与13相乘得39，除数是13确定无疑。显然，在被除数上面写上除数，使位数对齐，口算很快会得出结果。 所以商是12。 30.想 倍 比 31.扩 缩 法 例如，两数和是42，如果其中一个数扩大5倍，另一个数扩大4倍，则和是181。求这两个数。 若把和，即这两个数都扩大4倍，则得数比181小，因为原来扩大5倍的那个数少扩大了1倍。差就是那个数。 181－42×4＝13 42－13＝29 若把两数都扩大5倍，结果比181多了原来扩大4倍的那个数。 42×5－181＝29，42—29＝13。 若把181缩小4倍，则得数比42大。因为其中的一个数先扩大5倍，又 若把181缩小5倍，得数比42小。因为先扩大4倍的那个数，又缩小5 最佳想法： 两数扩大的倍数不同，181不会是42的整倍数。相除就把多扩大1倍的那个数以余数形式分离出来。 181÷42＝4余13。 另个数可这样求 32.分别假设 例如，1992年中学数学奥林匹克试题初赛(C)卷题5：把一个正方形的一边减少20％，另一边增加2米，得到一个长方形，它与原来的正方形面积相等。那么，正方形的面积是多少平方米。 设正方形的边长为1，另一边增加的百分数为x，则 (1－1×20％)×(1＋x)＝1， 正方形边长 2÷25％＝8(米)， 面积 8×8＝64(平方米)。
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