贝尔不等式是错误的吗（贝尔不等式）

引子

「贝尔不等式」（Bell's Inequality）及其推论「贝尔定理」（Bell's Theorem）为量子力学发展史上的一桩公案提供了一个可实验测量的判决条件。贝尔不等式的确立，将量子理论推到了世所公认的「局域性原理」的逻辑反面。通俗地讲，「局域性原理」（Principle of Local Causality）指的是：任何事件A只能对光速可达的时空范围内的其他事件B产生影响。贝尔定理的基本结论是：量子力学和局域性原理二者是你死我活的关系，只能保一头。

贝尔不等式在1964年发表之后的六十年间，在科学思想领域掀起滔天巨浪，让科学家开始重新审视「物理现实」、「局域作用」等一些基本常识性概念的精确定义。这段佳话还要从上世纪三十年代以爱因斯坦为首的三位物理学家（Einstein，Podolsky，Rosen）提出的一段公案说起。

「EPR论证」和「EPR佯谬」

众所周知，爱因斯坦一直对量子力学持有保留态度。上世纪量子力学发展初期绝对可以称为是「神仙打架」的年代。面对量子理论对微观世界日益强大的解释和预测能力，想证明它是「伪科学」想必是难于登天。EPR三人在经过一番合谋之后，于1935年发表重磅文章，试图证明量子力学「虽然正确，但不完备」。

文章提出了一个被后世称为「EPR佯谬」的思想实验，如下（本文描述是后来经过玻姆改造过的等价版本）：

假定某个源头可以不断产生处于「自旋单重态」（Spin Singlet）的正负电子对，即，每个电子对系统处于叠加状态

其中正、负电子各自向相反方向飞离。令张三伴随正电子（A）以相同速度飞行，令李四伴随负电子（B）以相同速度飞行。张三和李四在正负电子飞离足够远之后，自由选择一个时刻对其伴飞粒子进行z方向自旋的测量。

按照量子力学的观点，测量使得该双粒子系统的自旋状态 |Ψ⟩坍缩至两个本征态——|z ⟩⊗|z-⟩或|z-⟩⊗|z ⟩——之一。无论坍缩至哪一个本征态，二人测量的结果都必将是相反的，即，若张三测量结果为 1/2，则李四测量结果必为-1/2；反之亦然，若张三测量结果为-1/2，则李四必为 1/2。

上面说的「足够远」是指二人测量的时间间隔不足以使光在二者之间传播。那么问题就来了。是什么机制能够同时保证以下两条：

1. 测量呈现两种随机结果：（张三 1/2，李四-1/2），或者（张三-1/2，李四 1/2），但保证是符号相反的；
2. 两端测量无法互相影响（局域性）。

回答这个问题之前，请先参考以下场景：两名犯罪嫌疑人被隔离审问，每个人都按同一顺序被问到同一系列Yes/No问题。你发现每一道问题他们俩的答案都相反且貌似随机。这时你能得出什么结论？

结论就是他们在被隔离之前就都已经掌握了既定的回答规则（比如，基于事实张三永远说真话李四永远说假话；或基于事实，单号问题张三说真话、李四说假话，双号问题反之，等等），必然是每个问题的回答都是按照既定好的规则进行，而非临场随机胡说。

同理，EPR基于上述两点得到了一个符合基本概率原理的推论，即对于任意给定的电子对，它们z自旋的测量结果都是在测量动作之前就既定好的了，只有这样才能在没有互相影响的情况下保证两端的测量结果呈随机性却永远符号相反。任何的随机性，都不可能在二者超出作用范围之后产生，否则无法保证测量结果「严格反相关」（Perfect Anti-correlation）。

当两个粒子飞离的那一瞬间，源头就在这对粒子身上内嵌了同一段“DNA”，这段DNA会保证A粒子被测量z自旋时确定性地呈现 1/2，同时保证B粒子被测量z自旋时确定性地呈现-1/2。上面提到的测量的随机性其实是由于源头对于不同的正负电子对内嵌了不同的DNA所导致。即，源头有两种DNA，按照某一个概率分布在产生电子对的时候随机内嵌到它们身上，此后在测量时才导致结果呈现随机性。

我们把这个论证过程称为「EPR论证」，它是从「两个假设」得到「一个结论」的逻辑论述。其中「两个假设」是

1. 局域性原理
2. 测量结果严格反相关

「一个结论」是：

两个分离的系统各自携带「确定性隐变量」（Deterministic Hidden Variable），也即我们上面说的DNA。

在此值得强调的是，虽然爱因斯坦在与量子力学硬杠的过程中最终败下阵来，但上面的「EPR论证」却是完全有效的，即从「两个假设」推出「一个结论」的论证逻辑没有问题。正因为这个论证逻辑有效，当多年之后贝尔不等式及其指导下的实验否定了「确定性隐变量理论」的时候，我们才能对EPR论证的前提假设、一直被奉为真理的「局域性原理」提出质疑。

EPR文章中与贝尔不等式相关的内容其实就是这些，但既然气氛已经烘托到这里了，就让我继续多说几句。

这为什么是一个「佯谬」呢？

原因是，既然张三和李四能对z方向进行自旋测量，他们也能选择对x方向进行自旋测量。简单的量子力学计算表明，上述「自旋单重态|Ψ⟩」同样可以在x基底下等价表示为

所以之前对「z自旋DNA存在」的论证同样适用于x自旋。事实上，由于空间对称性，该结论适用于任意方向的自旋。由此，EPR认为任意方向的自旋都是一个由隐变量确定的「物理现实」，而量子理论中，x自旋和z自旋是不相容的算符，不能同时具有确定值，因此量子力学不是完备的（完备的理论应该能对物理现实进行计算和预测）。

后面的这段论述其实还包括很多关于「物理现实」、「完备理论」的定义，本文并不讨论这些，为了理解下面的贝尔不等式和贝尔定理，我们只需要上面从「两个假设」到「一个结论」的逻辑论证。

贝尔不等式

之所以说EPR佯谬是一段公案，因为这里EPR提出了一个原则上可能存在的、比量子力学更完备的物理理论，即「确定性隐变量理论」。因为它的「隐」，所以我们还暂时没有发现，但你不能说它没有。

这就有点棘手了、甚至有点流氓了。EPR说「可能有，但现在还没找到」，他们没有举证责任，因为对于「可能性」的论证没有毛病。世界上最难的就是证明某个东西不存在。但数学家其实经常做这个事，比如他们证明了五次方程没有通用求根公式，尺规作图无法三等分角等等。证明过程的通用技巧是反证法——假设你说的东西存在，通过逻辑推导出它必定具有某种属性，然后再论证这种属性不成立。

「贝尔不等式」就是从「确定性隐变量理论」推导出的一个属性。而这个属性会被量子力学违反。这就相当于贝尔给这段公案指明了一个判决条件——所有的确定性隐变量理论都应遵守贝尔不等式，但在某些条件下，量子力学的预言却违反该不等式。结果怎么样，只需将「某些条件」在实验中复现，看看贝尔不等式到底是不是被违反了，如果违反了，就证明我们的大自然并非按照确定性隐变量理论运行。

下面我们来陈述并证明贝尔不等式。

我们将某一假定存在的、确定性隐变量理论应用于上面的电子对实验：当每有一对正负电子从源头分离时，都按某种分布随机内嵌一段DNA来预定这两个粒子之后在任何方向上自旋测量的结果，且保证同一方向的测量结果严格反相关。现在考虑任意三个方向{a,b,c}。易知共有8种DNA可以满足「严格反相关」的条件（粒子A有2^ 3=8种选择，B必须与之相反）。每一种DNA的预定测量结果及其在源头的分布比例如下表所列。

实验分三组进行。每组重复足够多次（具有统计意义）。第一组被称为(b,c)组：每次在飞离足够远后，张三在b方向、李四在c方向测量各自粒子自旋。内嵌在粒子中的DNA按计划呈现确定性测量结果。如结果符号相同，记 1分，相反，-1分。令C(b,c)为该组实验分数的期望值。

类似重复第二组(a,c)，第三组(a,b)，以及定义相应的分数期望值C(a,c)、C(a,b)。

举世闻名的贝尔不等式即为

证明：

考虑(b,c)组实验，在所有DNA样本中，满足「A粒子的b-自旋」与「B粒子的c-自旋」符号相同的概率为N2 N3 N6 N7，符号相反的概率为N1 N4 N5 N8，故

同理

注意到

将上述各式带入贝尔不等式，则命题等价于

后者则由诸Ni非负显而易见，证毕。

贝尔不等式是「确定性隐变量理论」的必要条件，任何确定性隐变量理论必须遵守贝尔不等式。逻辑关系见下图。

量子力学违反贝尔不等式

下面我们将会找到一组方向{a,b,c}，使得量子理论所预测的结果违反贝尔不等式。

令,夹角为θ，由量子力学中二维旋量空间的旋转变换可知，若对方向上的本征态| ⟩进行方向自旋测量，得到| ⟩的概率为

由此得知在(b,c)组的实验中，二人测量结果符号相同/相反的概率分别为

从而

同理可得C(a,c)、C(a,b)。这时贝尔不等式等价于

但这显然并非恒成立的不等式，下图所示在同一平面内的{a,b,c}便违反了贝尔不等式的要求（左侧等于|1/2 1/2|=1，右侧等于1-1/2=1/2）。

贝尔定理

从量子力学违反贝尔不等式的结果可以得到一个逻辑推论，这就是贝尔定理：

不存在任何一个遵守局域性原理的理论可以涵盖量子力学的所有预测。

证明它其实很容易，只需要把之前的结论作为一整套逻辑链条串起来：

1. EPR论证：从两个假设——A局域性原理、B严格反相关——推出一个结论「存在确定性隐变量」；
2. 贝尔不等式：所有确定性隐变量理论都需遵守贝尔不等式；
3. 在某些条件下量子力学违反贝尔不等式；
4. 「严格反相关」条件本身就是量子力学得出的结论（基于角动量守恒）。

非确定性隐变量和CHSH不等式

贝尔不等式的假设是EPR论证里的「确定性隐变量」，这里的确定性是指所有的随机因素已经在正负电子分离那一刻得到固化，在分离之后不再具有随机性。回顾EPR论证里的推导，「确定性隐变量」存在的前提是「严格反相关」。在原版贝尔不等式提出之后，贝尔和其他物理学家构造出了一个能放松「严格反相关」限制的改版贝尔不等式——CHSH（Clauser, Horne, Shimony, Holt）不等式。由于严格反相关限制被取消，实验中的随机性被允许一直延续到测量的那一刻（如果两位嫌疑人回答问题不必处处相反，他们完全可以在最后一刻再临场发挥）。

在CHSH场景下，仍然要求「局域性原理」被遵守。而CHSH的重要贡献是对「局域性」给出明确的数学定义，再据此为假设推导出最终的CHSH不等式。

在上文的实验条件下，正负电子飞离足够远之后，我们允许它们一直到被测量的时候还保有随机性。该随机性只依赖于内嵌在他们身上的DNA（隐变量）（注意原版贝尔不等式的条件要求DNA一旦嵌入，自旋测量的结果就是确定值）。但是如果测量时，两个粒子已经分开足够远，「局域性」的意义则在于要求两处的测量结果具有独立的概率分布。

具体来讲，令λ代表隐变量（DNA），在给定λ条件下，局域性要求测量结果的联合概率可以分解为两端独立获得各自测量结果概率之积：

这里 1,2为测量自旋的方向，A1,A2是可能出现的自旋测量结果，在{-1, 1}中取值。「独立分布」代表彼此不会互相影响。而λ本身在源头则可以按照某一个不依赖于1,2的概率分布P(λ)（类比之前8种DNA的分布比例）。

这一条件可以被解读为，当DNA被嵌入时，虽然两端测量自旋的结果尚未确定（这一点和确定性隐变量不同），但由于局域性要求双方在最终呈现随机测量结果的时候互不干扰，这里体现为该概率分布在两端相对独立。

沿袭原版贝尔不等式的做法，在给定的1,2实验中，定义相关性「分数」的期望值为 ：

类比之前的C(b,c)，我们把8种DNA的加权和变成遍历λ概率测度空间的积分，把之前的确定性「相关分数」也变成了λ条件下的期望分数。

CHSH不等式断言：对任意给定的四个方向{a,b,c,d}，

其证明只需要用到局域性所要求的概率独立条件。

证明：

证毕

根据量子力学的计算，CHSH不等式在下图所示的{a,b,c,d}方向上被违反（不等式左边为2√2）

大自然的判决

在贝尔不等式和CHSH不等式提出后，人们尚且不知道最终胜利会花落谁家。大自然真的像量子理论所预言的那样在某些条件下会违反贝尔不等式吗？此后的几十年间，物理学家设计、实施了一系列实验，最终公认在2015年的一次实验中排除了所有可能的「局域漏洞」（Locality Loophole）和「检测漏洞」（Detection Loophole），证实了我们的大自然的确会如量子理论预言的那样违反贝尔不等式。人类的理性不得不摒弃之前奉为圭臬的「局域性原理」。但放弃「局域性原理」未必说明相对论不成立，「形而上」层面的争论（Empirical Relativistic v.s. Fundamental Relativistic）还在继续，这里我们就不讨论了。

EPR佯谬中提到的处于单重态的双粒子在后世被称为「量子纠缠」（Quantum Entanglement），是量子计算机和量子信息论的基本要素。很多精妙的量子算法都是利用了纠缠态粒子的「超距」作用实现其功能。虽然爱因斯坦以「恐怖的超距作用」（Spooky action at a distance）为由拒绝给量子力学应有的名分，但也许正是这恐怖的、违背直觉的超距作用，让宇宙之间无论远近的万事万物都连接在了一起，为我们的理性生命赋予了宇宙规模超大尺度的深邃含义。

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