这是《机器学习中的数学基础》系列的第8篇,也是微积分的第1篇。

提起微积分,你的第一印象是什么?复杂的公式?艰难的求导?今天我们抛开这些统统不谈,从最常见的圆的面积切入,让你更直观、更形象地理解微积分。

说起圆的面积,大伙都知道,就是πr²。那这个是怎么来的呢?我们先画个圆:

圆的面积怎么用微积分解释(从微积分的角度来看圆的面积为什么是πr²)(1)

如上图,这是一个圆,它的半径是r。那怎么求它的面积呢?这里我们用分割法,把圆分割成一个个的小圆环,如下图所示:

圆的面积怎么用微积分解释(从微积分的角度来看圆的面积为什么是πr²)(2)

那么圆的面积,就等于这些圆环的面积之和。而且可以看出,越往里,圆环的周长越小;越往外,圆环的周长越大。我们单独拿一个圆环出来,假设它是用纸做的,用剪刀剪开,就得到下面这个梯形:

圆的面积怎么用微积分解释(从微积分的角度来看圆的面积为什么是πr²)(3)

这个梯形的下底边的长度是2πr,也就是这个圆环对应的周长,r就是这个圆环所对应的半径,梯形的高我们暂且就叫他dr吧。那么,我们分割的圆环越细,也就是说dr越小,这个梯形的面积就越接近于长方形的面积。其中,长方形的底就是2πr,高就是dr。

好,现在我们要做一个游戏。把圆中所有的圆环都抽出来,并且都剪开,就得到了一个又一个的长方形(近似)。然后,把这些小长方形都竖起来,按从小到大的顺序排列好,就得到了下图:

圆的面积怎么用微积分解释(从微积分的角度来看圆的面积为什么是πr²)(4)

我们想要圆的面积,也就是上图中绿色小长方形的面积。观察上图,可以发现,我们把圆分割的越细,也就是每个长方形越窄,那绿色长方形的面积就越接近于三角形OAB的面积。那当我们把圆分割的足够细的时候,也就是说当长方形的宽接近于0,但不等于0的时候,可以认为,圆的面积就是三角形OAB的面积。

再来仔细看看这个△OAB,三角形的底OA是啥呢?OA就是由很多个小长方形的宽组合而成的,那小长方形的宽加起来,就是圆的半径r。三角形的高AB呢?它就是最外面那个圆环的周长,也就是2πr。所以,这个三角形的面积就是底乘高再除以2。也就是说,圆的面积p=1/2*r*2πr=πr²

OK,大功告成。

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