★抽丝剥茧，详细解析初中数学题324
324:如图所示，点D在△ABC内，∠BDC=90°，∠BCD=∠DAC=30°，
AD=3，AC=8，求AB的长。
★方法三★
解析：
1.因为题目是求AB的长，
不妨将AB放在一个特殊直角三角形中去考虑，
在AC的右侧取一点E，使点E满足：
AE丄AB且使∠ABE=60°，
并将CE连接起来，
如下图所示。
2.根据已经做好的辅助线，
挖掘有用信息：
2.1△BAE是直角三角形，
且∠ABE=60°，
所以AE=√3AB，
∠5=30°，∠1 ∠2=60°；
又知在Rt△BDC中，
∠2 ∠3=60°，
所以∠1=∠3，
而∠1与∠3又分别在△ADB和△BCE中，这两个三角形神似相似三角形；
2.2证明△ADB∽△BCE：
在Rt△BDC中，BD/BC=1/2，
在Rt△BAE中，AB/BE=1/2，
所以BD/BC=AB/BE，
又∠1=∠3，
所以△ADB∽△BCE，故有：
①AD/CE=AB/BE=1/2，
又AD=3，
所以CE=6，
到了此步，你能否看出端倪吗？
在△ACE中，
已经有AC=8，CE=6，
AE=√3AB，
如果△ACB是直角三角形，
那么AB可求；
3.在Rt△BAE中，
因为∠DAC=30°，
所以∠7 ∠6=60°，
又因为△ADB∽△BCE，
所以∠7=∠4，
所以∠4 ∠6=60°，
又∠AEB=30°，
所以∠4 ∠6 ∠AEB=90°，
所以∠ACE=90°，
所以△ACE是直角三角形，
所以AE²=AC² CE²
=6² 8²
=100，
所以AE=10，
所以√3AC=10，
所以AC=10√3/3。
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