伽利略（1564-1642，明朝嘉靖43年-崇祯15年）是现代物理学之父、现代天文观测之父、现代科学之父，他在《关于两种新科学的对话》中写到无限大的比较问题。当然，比较是人们常有的思维，比如比较职务高低、财富多寡等，但是，无限多的数之间怎么比较多和少呢？这确实是个有意思的问题。解决这个问题，我们得从集合说起。
集合是什么？简单说就是把一堆东西放在一起。比如自然数放在一起，就形成了一个集合，称它为自然数集合吧。把实数放在一起，形成实数集合。自然数有无限多个，实数也有无限多个，这两集合谁的数量比较大呢？很直观的，我们会认为实数集合的数量比较大，因为自然数集合只是实数集合的一部分。沿着这样的思路，我们把平方数放在一起，组成平方数集合，因为平方数集合也是自然数集合的一部分，那么，平方数集合的数量应该比自然数集合的数量少，但是这样对吗？我们做如下的演示：
1 2 3 4 5 6 ... n ...
1 4 9 16 25 36 ......
我们发现平方数是能够与自然数一一对应的，自然数有多少个，平方数就能有多少个，这样一看两者之间的量应该又是没差别的，可是这又很违背我们的常识，部分的量怎么就等于总体的量呢？可见在比较无限大时，是不能用我们对于比较有限大的理解。
数学家在研究集合时，提出了一个定义：如果集合A的任一元素都能在集合B中找到唯一的元素与之对应，同时，集合B的任一元素也能够在集合A中找到唯一的元素与之对应，那么集合A与集合B就建立起一一对应的关系，那么就称为集合A与集合B的势是相同的。“势”的概念是对有限集合元素数量的直接扩充，但两者有很大的区别，有限集合元素数量本身是可以用一个非负整数来表示的，“势”却不相同，并没有用数来表示。
按照上述的定义，数学家们把与自然数集一一对应的集合称为可数集，否则，称为不可数集。简单理解就是如果能找到一种方法，把某集合里的元素全部数一数（尽管无限多的元素，永远也数不完，但可以一直数下去，而不遗漏任何一个元素），那么，这个集合就叫做可数集。可数集的势小于不可数集的势，这样一来，无限大的比较就有了结果。我们看几个例子：
全部平方数组成的集合，因为能够与自然数集一一对应，因此这两个集合的势相同，但你如果一定要用常见的关于“量”的思维来理解，那就简单地认为这两个集合的量相同吧。
全部整数（）组成的集合，全部奇数（）组成的集合，全部偶数（）组成的集合等，都能够与自然数集一一对应，因此都是可数集。这些集合都很容易证明是可数集，比较难证明的是全部有理数组成的集合是不是可数集，全部实数组成的集合是不是可数集。数学家们早已证明了前者是可数集，后者是不可数集。简述一下证明方法如下：
按照上述箭头所示的方向，我们可以把全部有理数一一排列起来，再把相同的数去掉，就能够与自然数集合一一对应起来，所以，全部有理数组成的集合是可数集。
康托尔用反证法证明了全部实数组成的集合是不可数集，首先假设该集合是可数，那么，该集合的全部元素即可以按顺序排列出来，我们先把0至1之间的所有实数排列如下：
............
现在我们构造一个数，同时，令，这样一来，b就与上述序列中的任何一个数不同，且b一定是在0与1之间。所以，原假设不对，也就证明了全部实数组成的集合是不可数集合。这种证明方法叫做康托尔对角线法，许多命题的证明都要用到它。
由于全部有理数组成的集合是可数集，而全部实数组成的集合是不可数集，也就证明了无理数的存在，而且，虽然有理数是处处存在的，但是，无理数更是无处不在。相比无理数，有理数不过是沧海一粟！
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