一、不等式的基本性质

a≥b且b≥c⇒a≥c(不等式的传递性)

证明如下:

因为a≥b,b≥c,

所以a-b≥0,b-c≥0,

所以a-c=(a-b) (b-c)≥0。

a≥b⇔a±c≥b±c(不等式的加法性质: 不等式的左右两边同时加上(或减去)同一个数,不等号的方向不变。)

(1)a≥b且c>0⇒ac≥bc;

(2)a≥b且c<0⇒ac≥bc

(不等式的乘法性质:(1)不等式的左右两边同时乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;(2)不等式的左右两边同时乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变。)

a≥b且c≥d⇒a c≥b d。

证明如下:

因为a≥b,c≥d,

所以a-b≥0,c-d≥0,

所以(a-b) (c-d)≥0,a c≥b d。

⑤a≥b>0且c≥d>0⇒ac≥bd

证明如下:

因为a≥b>0,c≥d>0,

所以ac≥bc,bc≥bd(不等式的乘法性质)

所以ac≥bd(不等式的传递性)

⑥a≥b>0⇒a^n≥b^n(n∈R)

⑦a≥b>0⇒a^(1/n)≥b^(1/n)(n≠0)

二、区间

1、概念:由数轴上两点间的一切实数所组成的集合叫做区间,其中,这两个点叫做区间端点

2、开区间和闭区间

(1)开区间:不含端点的区间

例如:集合{x|0<x<1}用表示的区间为(0,1)等等。

(2)闭区间:含有两个端点的区间

例如: 集合{x|0≤x≤1}用表示的区间为[0,1]等等。

3、左半开区间和右半开区间

(1)左半开区间:只含右端点的区间

例如:集合{x|0<x≤1}用表示的区间为(0,1]等等。

(2)右半开区间:只含左端点的区间

例如:集合{x|0≤x<1}用表示的区间为[0,1)等等。

4、有限区间和无限区间

(1)有限区间:开区间、闭区间、左半开区间和右半开区间。

(2)无限区间:只含有一个端点并且另一个端点不确定。

实数集合R用区间表示为(-∞, ∞)。

例如:①集合{x|x≥1}用区间表示为[1, ∞)②集合{x|≤-1}用区间表示为(-∞,-1] 等等。

三、绝对值不等式

1、解不等式|x|≤a或|x|≥a

(1)①当a=0时,x的解集为{x|x=0};②当a>0时,x的解集为[-a,a];③当a<0,x的解集为∅。

(2)①当a=0时,x的解集为R;②当a>0时,x的解集为(-∞,-a]∪[a, ∞);③当a<0时,x的解集为R。

2、解不等式|ax b|≤c或|ax b|≥c(a≠0)

(1)①当c=0时,x的解集为{x|x=-b/a且a≠0};②当c>0时,x的解集为[-c-b/a,c-b/a](a≠0);③当c<0,x的解集为∅。

(2)①当c=0时,x的解集为R;②当c>0时,x的解集为[c-b/a, ∞)∪(-∞,-c-b/a] (a≠0);③当c<0,x的解集为R。

3、通用公式:

①||a|-|b||≤|a±b|≤|a| |b|

②|a b|≤|a| |b|(当且仅当ab≥0时,等号成立)

③|a-c|≤|a-b| |b-c|【当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立】

四、基本不等式

1、(平方和)①当a、b∈R时,a^2 b^2≥2ab(当且仅当a=b时,等号成立)

②当a、b∈R 时,(a b)/2≥√ab(当且仅当a=b时,等号成立),√ab为几何平均数,(a b)/2为正数a、b的算术平均数。

2、(立方和)①当a、b、c≥0时,a^3 b^3 c^3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立)

证明如下:【要证a^3 b^3 c^3≥3abc,也就是a^3 b^3 c^3-3abc≥0】

a^3 b^3 c^3-3abc=(a b c)^3-3ab(a b)-

3abc=(a b c)[(a b)^2 c^2-ac-bc-3ab]=1/2(a b c)[2a^2 2b^2 2c^2-2ac-2bc-2ab]= 1/2(a b c)[(a-b)^2 (b-c)^2 (a-c)^2]

因为a、b、c≥0,

所以a b c≥0,

(a-b)^2 (b-c)^2 (a-c)^2≥0,

所以a^3 b^3 c^3-3abc≥0,即:a^3 b^3 c^3≥3abc,当且仅当a=b=c时,等号成立。

②当a、b、c≥0时,(a b c)/3≥(abc)^1/3(当且仅当a=b=c时,等号成立)。

证明如下:【可以根据当a、b、c≥0时,a^3 b^3 c^3≥3abc(当且仅当a=b=c时,等号成立)】

设a^3=x,b^3=y,c^3=z(x、y、z≥0)。

所以x y z≥3·∛x·∛y·∛z= 3·∛xyz,当且仅当x=y=z时,等号成立(x、y、z≥0),

同理:当a、b、c≥0时,(a b c)/3≥∛(abc),当且仅当a=b=c时,等号成立。

推广:当a₁、a₂、· ········ ·· 、an∈R 时,(a₁ a₂ · ········ ·· an)/n≥(a₁ a₂ · ········ ·· an)^1/n,当且仅当a₁=a₂=· ········ ·· =an时,等号成立。(n∈Z )【证明略】

五、柯西不等式

当a、b、c、d∈R,(a^2 b^2)(c^2 d^2)≥(ac bd)^2(当且仅当ad=bc时,等号成立)

证明如下:【要证(a^2 b^2)(c^2 d^2)≥(ac bd)^2,也就是(a^2 b^2)(c^2 d^2)-(ac bd)^2≥0】

(a^2 b^2)(c^2 d^2)-(ac bd)^2=a^2d^2 b^2c^2-2abcd=(ad-bc)^2

因为(ad-bc)^2≥0,

所以(a^2 b^2)(c^2 d^2)-(ac bd)^2≥0,即:(a^2 b^2)(c^2 d^2)≥(ac bd)^2,当且仅当ad=bc时,等号成立。

推广:当a₁、a₂、· ········ ·· 、an、b₁、b₂、· ········ ·· 、bn∈R,(a₁^2 a₂^2 · ········ ·· an^2)(b₁^2 b₂^2 · ········ ·· bn^2)(a₁b₁ a₂b₂ · ········ ·· anbn)^2,当且仅当bn=0或者a₁/b₁=a₂/b₂=· ········ ·· =an/bn(bn≠0)时,等号成立。(n∈Z )【证明略】

六、权方和不等式

当b₁、b₂、a₁、a₂>0,a₁^2/b₁ a₂^2/b₂≥(a₁ a₂)^2/(b₁ b₂),当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂时,等号成立。

证明如下:【要证a₁^2/b₁ a₂^2/b₂≥(a₁ a₂)^2/(b₁ b₂),也就是(a₁^2/b₁ a₂^2/b₂)(b₁ b₂)-(a₁ a₂)^2≥0】

(a₁^2/b₁ a₂^2/b₂)(b₁ b₂)-(a₁ a₂)^2=a₁^2 a₂^2 a₁^2 b₂/ b₁ a₂^2 b₁/ b₂≥(a₁ a₂)^2[利用基本不等式],当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂时,等号成立。

推广:a₁^(m 1)/b₁^m ··· an^(m 1)/bn^m≥(a₁ ··· an)^(m 1)/(b₁ ··· bn)^m,当且仅当a₁/b₁=a₂/b₂=··· =an/bn(bn≠0)时,等号成立。(n∈Z )【证明略】

高中数学基本不等式及其应用系列(三十二高中数学之)(1)

数学是需要不断计算、推导、检验的

,