德国数学家克罗内克有一句名言: “上帝创造了自然数, 其余都是人造的。”人类从蛮荒时代开始结绳记数。随着分配猎获物的需要, 数的加减乘除也很“自然”地开始使用,于是有了自然数。后来因减法的需要出现了负数, 因除法的封闭性引入分数, 更因开方的通行无阻出现实数和复数, 这些就都不是“自然”的了。
第一个“人为”的数是正分数。从逻辑上看, 应该是先有负整数,再有分数, 但是历史顺序却正好相反。负数最早出现于中国的《九章算术》( 约公元前 1 世纪成书) , 而有历史记录的分数则出现在古埃及的纸草书上, 距今约 4000 年。《九章算术》也叙述了完整的分数知识。中文数学名词 “三分之一”“几分之几”, 确实既精确又达意,比起英文的 “one–third ( 一和第三) ”来, 要容易理解得多。东亚许多使用汉字的国家和地区, 学生学习分数的成绩普遍比欧美各国好,据说与此有关。
时至今日, 分数知识是普通百姓数学素养的组成部分之一。全世界的学生, 无一例外地要学习分数。欧美各国的数学课程, 分数大多放在中学( 六至七年级), 我国的分数则要早些, 20 世纪 60 年代, 分数内容安排在五年级, 现在则在三年级或四年级就开始学习了。
1.分数是我们认识自然数以后的“新朋友”。
各国的分数教学, 多半是从“切大饼”或“分蛋糕”开始的。如, 将一个圆形大饼平均切成四块, 每块是整个大饼的 1/4 , 读作四分之一。一般地, 将一个单位平均分为若干份,表示这样的一份或几份的数称为分数。这种用“份数”来定义的分数, 易懂好学。不过, 把它作为教学的切入点可以, 但其内涵却很局限, 尤其不可形成思维定势。
分数的真正来源在于自然数除法的推广。一个大饼, 由四个人平均分, 得到有确定大小的一块大饼。对于这个客观存在的量, 依除法的意义, 应该是 1÷4 所得的商。可是, 这种除数大于被除数的除法, 以前不能除, 因而也没有“商”。于是, “创新”的机会来了。我们把已经认识的自然数当做老朋友, 把 1÷4 的商看做新朋友, 它的名字叫做四分之一。认识了这样的“新朋友”, 任何两个自然数之间的除法就可以进行了。于是有这样的定义: 分数是两个自然数 a 和 b(b≠0)相除的商。a÷b 的商是新数 a/b , 读作 b 分之 a。当 b=1时, 分数就是自然数。
总之, 由“份数”定义到“商”的定义, 是数系的扩充。这是一次跨越、一次升华, 每个学生都必须面对。现在的教科书, 对于数的扩充只字不提, 连“分数是新朋友”这样的话也不说, 应该说是一种数学思想方法教育上的缺失。
2.分数是一个特殊的“大家庭”。
分数运算之难, 在于通分。小学生不知道为什么要扩分、通分、约分。明明是同一个分数, 老是化来化去, 像变戏法似的, 难以捉摸。( 注:扩分是指将 1/2 写成 4/2 、 8/4 ……这一说法在香港通行, 大陆不大使用。其实, 它和约分运算一样, 彼此对立统一, 有其独立使用的价值)
其实, 这里用到一个很深刻的思想: 等价类。一个分数, 和它的所有扩分和约分相等:
这些数构成一个由无限多个分数组成的等价类, 其中的每两个分数彼此相等, 但是形式却不同。这是以前学习自然数时从未碰到过的数学现象。
依照通常的思考, 既然相等, 选一个代表就行了, 要那么多等价的分数做什么?确实, 作为分数的等价类, 一个特殊的代表是有的, 就是最简分数。但是, 最简分数作为代表有时候并不方便, 需要在等价类中找出适当的分数表示才能参与运算。例如 1/2 1/3 , 两个分数都是最简分数, 却不能直接相加。还得找出以两个分母的最小公倍数为分母的那些特殊表示, 写成 3/6 2/6, 才能相加。这就是说, 分数等价类中的每一个表示, 各有各的用处, 都有其特定的价值。分数的这个特点, 既有学习难度, 又有思想高度, 是一个重要的数学思想方法。
这样一来, 我们可以这样比喻:每一个分数都是一个大家庭。一个家庭有许多人格上平等的成员, 可以有一个户主(最简分数)。但是, 每个家庭成员各有各的作用: 爸爸耕田, 妈妈织布, 爷爷养花, 奶奶管家,小明读书……在通分的时候, 最简分数和每一个扩分, 都会派上用场。用这样的比喻来认识作为等价类的“分数”, 是否比较直白易懂呢?
还可以有另外的比喻。一个人可以有不同的装束: 校服、运动服、唐装、西装、夹克衫、牛仔服等。尽管装束多种多样, 却都是同一个人。两个分数通分, 相当于两个人都穿一样的服装。在教室里上课, 大家都穿校服; 在运动会比赛时, 大家都穿运动服; 文艺演出时, 大家又要换成演出服……
扩分、约分、通分的学术形态是所谓的“分数基本性质”。这个基本性质是分数知识的学术形态, 较难把握。上述的比喻尽管不完全准确,有点蹩脚, 却可以让人觉得数学的原始思想也很平常, 呈现出一种使人容易理解的教育形态。
3.正分数密密麻麻地分布在数射线上。
“切大饼”是分数的直观表示,但并非最好的表示。“切大饼”是学习分数过程的一根“拐棍”, 能够独立行走了, 应该及时丢掉, 否则会影响进一步的学习。
让我们先看一个教学调查。问题是 : “从 右 边 的图形中, 你看到了什么分数? ”全班学生异口同声地说: “1/4! ”“还有别的分数吗? ”大家都摇摇头.
把这一图形看成 1/4唯一的几何解释, 是一种不当的思维定势。实际上, 除了以整个圆作为单位之外,还可以看到一块黑、三块白, 即以三块白为单位, 看到 1/3。甚至还可以看到 1/2 和 1/1 。我们不是强调分数的单位吗? 为什么单位不能多样化地选择呢?
一个重要的几何表示是线段模型 (教学上可以用折纸条的方式得到折痕).
这是一个半抽象的模型。首先,它的单位是抽象的“1”。虽与圆形、三角形相比有点抽象, 但是仍然是几何直观, 可以帮助学生感知分数的含义。其次, 这是数轴的雏形, 早在学习自然数的时候, 就用过这样的表示方法。再次, 通过操作可以看到分数是“填”在自然数之间的“新”数, 位置在两个相邻的自然数之间,并和分数大小、扩分、约分、通分以及运算都可以呼应。线段模型是“圆模型”和其他平面模型的“再抽象”,可以充当分数的“份数模型”向“除法的商”定义过渡的几何载体。
我国的分数教学, 擅长分数的计算, 不太注意在数轴上直观地加以表示。其实, 这是数学素养的重要组成部分。应该让小学生知道, 正的真分数是密密麻麻地分布在(0, 1)区间上的。至少, 在(0, 1) 区间内画出所有的以 10 为分母的真分数, 加强分数和数直线之间的联系, 乃是改进分数教学的一个方面。
4.分数学习让学生面对“无限”的大门。
由于循环小数的出现, 分数和小数的关系成了小学生学习的又一障碍。
小数的基础是十进制, 即采取10 等分而获得的分数。从理论上说, 应该是分数更为基础。但是, 小数更容易学, 生活中学生对小数的经验远比分数要多, 货币中的元、角、分, 长度度量中的米、分米、厘米, 实际使用的都是小数。因此, 就生活经验来说, 小数似乎更基本, 应该先学。
这就产生一个问题: 只学特殊的10等分的分数——有限小数, 不学或少学一般的分数行不行? 回答是“不行”。因为有限小数只能表示一部分分数, 大量分数的小数表示却是循环小数。特别是, 无限小数不能直接进行加减乘除运算。所以分数的加减乘除化成无限小数的加减乘除是不行的。至于通过有限小数的运算和极限理论来教学, 那不是小学数学的内容。
无限, 只是人们的一种想象, 只有数学, 才真正面对无限。可以说,分数学习已经抵达了 “无限”的大门。小学阶段, 只能在大门之外望一望, 还没有办法走进去。如果问:
0.99999……=1 吗?我们只能说无限接近, 但永远达不到。
不过, 分数的小数表示, 可以用来整体地比较大小。众所周知, 任取两个分数, 要比较他们的大小, 只要通分之后, 比较它们分子的大小即可。这是局部的关于两个数的比较。另一方面, 从整体上考察, 全体正分数是可以像自然数那样从小到大排列起来的。如果一律化成有限或无限小数, 然后按照整数位和小数位的位数, 就可以依字典式的顺序区分大小。把它们一一标在数射线上,可以直观地想象为: 所有真分数由小到大密密麻麻地排列在(0, 1) 上,左边为小, 右边为大, 没有最小的真分数, 也没有最大的真分数, 两个正分数之间没有空当。这是分数的半直观几何模型, 数轴的雏形。
5．分数的比例加法和数量加法。
分数的加法有比例加法和数量加法两种。通常的加法是指数量加法，但是有时也会碰到比例加法。
两个分数，将它们的分子、分母分别相加，得到的结果称两个分数的比例加法。在实际生活中这样的例子很多：
例1：甲乙两个容器中都装有30毫升的酒，其中容器甲的酒中含有酒精15毫升，容器乙的酒中含有酒精10毫升，那么混在一起的浓度是多少呢？答：酒一共是30 30=60（毫升），酒精一共是15 10=25（毫升），因此有 =。
例2：一场足球赛，上半场甲乙得分之比是3：2，也可以说甲的得分是乙的，也可以说乙的得分是甲的。下半场甲乙得分之比是1：3，也可以说甲的得分是乙的。因此，有 =。
这样以来， =倒是正确的算式了，是的，不过是在比例加法的意义来说的。
但是，比例加法不能与自然数的加法相容。例如，2 3=5，是自然加法，其中的2就是，3就是。如果按照比例加法 =，那就矛盾了。所以我们必须引进分数的另一种加法，能够和自然数加法相容。
自然数的数量加法是自然数加法的推广。所谓自然数加法就是接着数数，例如，3 5=8就是从3开始接着数5个数，结果是8。分数加法在分母相同的情况下可以这样类似的进行。例如， =，就是把“1”平均分成5等份以后，以为单位，从开始继续数2个，结果是。所以这样规定加法是合情合理的。
实际上，这一点在数轴上看是最清楚的。两个分数相加的结果就是两条线段的长度和。
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这和自然数加法的思考是一致的。
异分母分数加法，学生常常会出错。许多学生一开始会得出： =，这种结论对于分数的数量加法而言显然是错误的，但对于分数的比例加法而言却是正确的。这种做法，分子、分母分别相加，简单明了、对称和谐，具有一定的和谐美。学生这样做，也反映了他们追求“简谐美”的天性。因此教师不用过分责备，倒可以说他很有美感。但是，美观的东西未必是美好的，例如，罂粟花虽然美观，却十分有害。我们追求的不仅是美观而且要美好。
通常的小学数学教材和教学参考书中，只有分数的数量加法。一般是从一个例子出发（例如，把一个大饼平均分成5份，说明 =），立即概括出法则：两个同分母分数相加，分母不变，分子相加；两个异分母分数相加，则需要通分变成同分母后再相加。至于为什么这样定义分数的加法，而不是前面说的比例加法，并没有交代。和自然数加法有什么关系，也没有说明。这种只讲推理，不讲道理的教材，未必合理。
6．分数的乘法和除法。
求两个分数的乘积非常简单而和谐，分子乘分子，分母乘分母，立即可得。我们不仅要问，求两个分数之和时，分子、分母不能直接相加，求两个分数的乘积时，为什么分子、分母就可以直接相乘呢？这就需要探讨分数乘法意义的合理性。
分数乘法不能沿用自然数的乘法思想。例如，5乘3就是5个3或者3个5相加或者是长为5的线段量3次（长为3的线段量5次）。但是，×则不能说个相加，也不能说长的线段量次。
通常我们用几何的方法加以说明更为直观。例如，如果分数可以表示为某线段的长度，那么两个分数相乘的积就是这两条线段为边长围城的长方形的面积。
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