在我看来，“模型”一词恰到好处。
它有着“不真实”的意思，说明我们的认知只是对现实世界的近似。
我与“模型”的结缘这个东西有许多名字，有人叫它理论，有人叫它观念，有人叫它法则，我却只愿叫它模型。
我使用这个词是源于电路理论。
之前我很奇怪，为什么那些前辈高人都研究理想化的东西，理想化的模型，而不是贴近现实的东西。
历经多年的思考。
最终，电路理论让我醍醐灌顶。
这种思想让我震撼：用理想的电路模型去描述实际的电路。
一个线圈在不同的条件下可以有至少三种模型。
施加直流电时，可以用一个电阻元件来描述线圈。
施加交流电时，会引起感应电压，需要用电阻元件和电感元件的串联来描述线圈。
施加交流电的频率极高时，会产生电容效应，还需要并联一个电容元件来描述线圈。
这种方法十分美妙，但也让我感到不安。
等到一些特性不能被忽视的时候才把它们考虑到了模型中。
我们的模型并不可靠，它们只是在近似描述现实事物。
而有一句话是：
失之毫厘，差之千里。
这件事细思极恐。
尽管科学一直标榜“严谨”二字，但它做得近似实在是太多太多，几乎全是近似。
近似，真乃大智慧！提到近似，我能想到的最贱的例子就是海岸线悖论。
（我总是喜欢用最贱的例子来思考，就像之前提到的红色和囮色一样。）
海岸线悖论：采用不同的测量尺度，量出的海岸线长度也不同。
其实不只是海岸线，就连一块玻璃的表面积也随测量尺度的变化而变化。
使用较大的测量尺度时，可以认为玻璃的表面很平整，是一个平面。
一旦使用较小的测量尺度，就要考虑玻璃的表面的微小起伏，使表面积增大。
测量尺度无限小，表面积可以无限大。
我第一次知道了测量精度是如此重要。
（就像雪花曲线一样，有限的面积可以有无限的周长。）
当然，现实世界不会随着人类的测量标准的变化而变化。
但是，人类只能理解模型，模型会受到测量标准的制约。
这就使人类的认知受到测量标准的制约。
就像1斤猪肉，它真的是1斤猪肉吗？它完全可能是1.002斤、0.9993斤。
追究这些东西有用吗？
至少在这个场景下没用。
近似是必然的，我们总要根据实际情况制定一个精确度。
（之前的文章提到过，世界是复杂的。不去近似的话，我们会疯掉。）
回顾我之前提到过的映射。
模型是现实世界在脑中的映射，也可以是其它模型在脑中的映射。
有两种映射：
1.从现实世界到模型的映射。
2.从模型到模型的映射。
这两种映射都伴随着近似，但也有区别。
第一种映射的近似是不可避免的，人脑中的苹果的概念绝对不会包含真实的苹果的一切信息。我们脑中的模型总是和现实世界差之一线。
而第二种映射的近似是可以避免的，避免的方法就是明确定义。定义就是为了保证映射的准确，这使我们脑中的模型与模型之间可以“无损传输”。这也使得模型被“压缩”以后还可以“解压缩”。
（模型的“压缩”和“解压缩”其实也是映射。）
虽然我们的模型总是在近似，但我们并不是在追求近似，能精确的话，当然要精确。
（人脑总是和计算机很像，第一种映射类似于模数转换，第二种映射类似于数字信号处理。）
这可能扯远了，但是提及近似，我难以抑制对它的赞美：
级数展开！
任意给出一个精确度，都可以用简单的式子近似代替复杂的式子。
它让我知道了近似与严谨并不矛盾。
（说得哲学一点，它们是对立统一的。）
级数展开可以让很多难题不再是难题。
否则，看似人畜无害的问题，往往能逼疯一代又一代的科学家。
（公式预警！公式预警！公式预警！）
（请酌情跳过公式。）
椭圆的周长怎么算？
但愿这个表格上面的公式没有吓到你。
精确公式中的积分是椭圆积分，计算结果不能用初等函数表示。近似公式就是用级数展开得到的。
为了解决椭圆积分的问题，一大批数学家费尽心思创立了椭圆函数。
但是，结果有什么明显的差距吗？
而且，只要你愿意，还可以用级数展开得到精确度更高的近似公式。
多说一句，椭圆函数是19世纪最辉煌的数学成就之一，虽然在具体计算的时候用处不大，但这并不影响椭圆函数的伟大。
单摆很简单吗？
那它的周期怎么算？
大部分人知道的公式是这个：
但是，这只是摆角小于5度时的近似公式。
精确的周期公式是这样的：
公式中的积分也是椭圆积分
用级数展开的方法可以算出：
只取第一项，就是摆角小于5度时的近似公式。
越到后面的项，就是越高阶的无穷小量。
高阶的无穷小量并不影响大局，在工程应用中，经常把它们忽略。
在涉及到微积分的数学推导中，略去高阶的无穷小量更是家常便饭。
就连那个常见的波动方程也是略去高阶无穷小量的结果。
略去高阶无穷小量以后，才能得到形式如此简单的波动方程。
近似总是伴随着视角近似归近似，但也不能瞎近似。
确定了视角以后，才知道该如何近似。
就像高次谐波，通常可以忽略，但是在做谐波分析的时候还不考虑的话，那就成问题了。
上面提到的近似都是精确度的近似，近似的程度不同，最终的模型并没有太大的差距，只是精确度的变化。
还有一种近似，完全是基于视角的近似，基于不同的视角会建立完全不同的模型。
面对河水，基于不同的视角会建立：
流体力学方程（航行）、pH值（灌溉）、矿物质含量（饮用水）、中子吸收率（反应堆慢化剂）。
就像晶体管，确定了将它用于模拟电路还是数字电路的时候，才能将它近似成比例环节或是开关。
也像现代社会的三大支柱：材料、能源、信息。
现实事物都同时具备这三种属性，我们会选择性地关注其中的某个属性。
就像木材，它可以用作做家具的材料；也可以当柴烧，作为能源；还可以传递信息。
或许我可以把基于精确度的近似称为“纵向近似”，把基于视角的近似称为“横向近似”。
（体现之前的文章中提到过的：只要做好定义，我就可以创造任何概念。）
所谓的发展，不过是在提高模型的精确度。严格地说，模型之间并没有真正的对错，只有精确度的高低。
菲涅尔的部分曳引理论和狭义相对论都可以描述斐索流水实验的结果，但是狭义相对论更胜一筹。
不是因为狭义相对论是绝对的真理，而是因为狭义相对论的精确度更高。
如果现实世界是完整的级数展开式，那模型的每一次迭代都是在级数展开式上多取了几项，只有在对精确度要求极高时，才能体现出那些新模型的优势。
就连那个被称为“改变世界”的质能公式，也只是给经典的动能表达式多加了一些项。
经典动能公式
质能公式
模型永远只能逼近现实世界，永远会有差错。
但是，不能因为这样，就不去了解任何模型。
无论各种模型如何发展，它们在人类能接触到的绝大部分环境下都是一样的，只有在极端条件下才会有所不同。
对于精确度更高的模型，它们在极端条件也是一样的，在更极端的条件下才会有所不同。
也就是说，对于模型的精确度，能满足目前的观测的精确度就可以了。
（否则，精确度再高的模型也只能是黄粱一梦。）
尽管总有人对这种实用主义嗤之以鼻，只崇尚所谓的本质、终极奥秘。
但这丝毫不妨碍他们口是心非地践行这种实用主义。
最后，想提一些不太切题的话。
新模型始终建立在旧模型的基础上，如果你能找到反例，说明你知道的旧模型太少。
科学界没有革命、没有颠覆，只有日积月累的迭代。
