一篇文章搞定矩阵
——第三篇 矩阵题型总结和解题方法
矩阵这一章节较为重要，因此题型也较多，下面先按照形式分成几大类，大类中按照知识点的不同再细分为小类。
一，代数运算型
标题看似简单，实则暗藏玄机。单纯的从题目的大致长相上这一类题都很相似（都给出了矩阵的数值），但实际上可以考察很多不同的知识点，欲知后事如何，且看下文：
（一），矩阵的乘法
（这一块不细讲，只是作为简单的分类）作为一个比较基本的运算，其往往是作为一个题目的部分而出现，比如作为利用逆矩阵运算的最后一步，如X=AB-1而且AB均已知。与行列式结合也是一个不错的选择，就像我要考你一个爪型行列式的运算，但是这个行列式，需要用矩阵的乘法算出来。总而言之，还是比较基础的。
（二），矩阵的秩和等价标准型
给出矩阵求矩阵的秩，或者求其等价标准型也是比较基础，主要是考察运算思路，这里稍微介绍一下等价标准型的求法：
首先将矩阵化为阶梯型后，利用行变换从下往上消，直至不能再消去，然后用列变换操作继续消去，最后调整顺序把剩下的数按主对角线排布即可。空口无凭，举例如下：
一看第三行只有一个8，毫不犹豫的直接把2和7抹去。看见两个1在一起，用第一行减去第二行，消去！而后采用列变换，用二三列的1消去前两行剩下所有的数字，最后-8可以直接看成1，调整顺序就得到左上角三个1其余全是0的矩阵。
（三），求逆矩阵
这里的求逆矩阵一般都是AX=B，然后AB已知求X之类的形式，主要有两种两种解法，先说笨的：那就是先求出A-1，然后用A-1乘以B得到X。显然并不容易，两步都很繁琐，如果我们非得在这笨拙的方法中找出一点技巧的话，那就是二阶矩阵的逆矩阵可以直接凭借公式写出，公式如下：
这里不做证明，因为重头戏在后面，第二种简单的方法就是把AB的矩阵写在一起，利用行变换把左侧化成E，右边得到的就是X。符号语言如下图；
我们举个例子具体说明一下：
那这种方法为什么对呢？原理何在呢？我们先想一下为什么要把两个矩阵并排写，而且只用行变换？答案是为了让AB都能够得到相同的变换。好的，现在对其证明如下：
表示箭头对A做的n次有限行变换为p1p2...pnA=E，因为AX=B，所以代换得，p1p2...pnBX-1=E。刚刚说到，把两个矩阵并排写而且只用行变换就是为了让AB拥有相同的变换，所以说经过变换的B变成Q的过程也可以表示为p1p2...pnB=Q，对比上述二式，不难发现Q=EX=X吧。而且当我们令B=E的时候，就得到了前一篇文章中所讲的求逆矩阵的方法了。
（四），求A的n次方
这是一种类型题，大致分为以下两种情况；
1. 旋转矩阵，这种矩阵的 特点就是矩阵中的元素必须为同角的三角函数值。其公式如下图：
2.上下三角等对角线型
这一种就是利用二项式定律展开来计算，这样的矩阵望名便可解意，首先必须是上下三角形矩阵，而后对角线上的元素必须数值相同，方便化成单位阵。其解题方法用一个例子来说明：
首先拆分矩阵A为5E D,D为A去掉主对角线上的元素所剩下的矩阵。而后得到
(因为D的 行列式等于零，所以D的n次方（n＞1）均为零)
（五），行列代数变换型
因为每一次行变换或者列变换都可以看作在左边或者右边乘以一个矩阵P，现在我们把这个P真正的找出来，这就构成了这一类题型。首先我们先来看一下，行变换与列变换的标准表示法，如下图：
这种类型主要是给出变换前A的矩阵和变换后B的矩阵，让求中间的过程并用P表示，而P是E的变式。其变换规律如下：
1. 在A左边乘以P代表行变换，右边乘代表列变换
2. （如果说进行的是行变换）在上图第i行第j列加上一个数字k代表将第j行的k倍加到第i行上去。
3. 如果是主对角线上某一个数字变为了k，那么就是将A中对应的那一行变成原来的k倍。
二，抽象矩阵型
在这一个类型中，很少出现给出矩阵所有元素的情况，矩阵仅仅被一个大写字母代表从而进行运算。主要分为以下几类：
（一），公式计算型
最常见的就是给出A的行列式的值，求其他表达式的值，只要上一篇中的公式记得熟，这个类型就没有问题。为了方便没有看过小酱上一篇的老板，这里在把两张性质表给出一下：
如果遇到了公式中没有出现过的新组合，我们同样是有应对的策略的，
因为我们有规律，有理解。规律是什么呢？
1. 行列式的乘法，矩阵的加法都是十分符号常数的运算规律的。
2. 矩阵的转置，求逆，求伴随没有先后之分，既是右上角如果有多个运算时，可以自由的调整这三个运算间的顺序。
3. 整体思想的应用，如果我不知道上一条性质，然后求（A-1）*，我们知道A-1也是一个矩阵，那就把它看作一个整体，直接代入到A*=A-1（A的行列式）这个公式中，就可以得到原式=（A-1）-1（A-1的行列式）=A/（A的行列式）。我们心里应该时刻清楚，哪一个整体还是个矩阵，哪一块是一个常数
4. 对于特殊的题型，我们也可以采用分析的方法，即先用公式做初步的转换，之后根据实际意义分析，举例如下：
我们对原式取行列式就可以分析得到A的行列式的平方=1，结合小于0的条件得出A=-E,所以最终结果是0.
（二），抽象逆矩阵型
这一种乍一看似乎可以用公式解决，但实际上不可以，因为它恰恰属于公式中的“不一定”，类型比较单一，同时也成就了其特殊性，如下图：
（三），行列抽象变换型
这个是上述（五）的抽象版，但是我们不要被其迷惑住，仍然按照刚刚说过的思路来写。举例如下（a1,a2,a3,均为列向量）
很显然，P=(111 123 149)
，而且要注意的是，因为A是列向量，所以要把A放左边。
（四），分块矩阵的行列式型
这里主要是注意不要把分块矩阵当成一个普通的元素了，这里只强调一个算法，就是把左下角消成0，举例如下：
三，文字辨析题
这里主要是给出四个选项让判断正误，只要掌握了我们前面两篇里所讲的定义与性质，这一题基本上问题不大。说白了，这题就是考我们是否“见多识广”，如果真的遇到了不熟悉的叙述，我们同样可以采用特殊值的方法排除。前面讲性质的时候不小心漏了几条，现在在这里补上，
四，矩阵的秩
不得不说，这是一个很灵活的题型，在上一篇文章里我们已经介绍了矩阵的秩的公式。一般来说，这一块内容的考察基本上都是以AB为基本背景。下面介绍几个基本情形：
（一），AB均为非零矩阵，AB=0推出R(A) R(B)<=n,R(A)<n,R(B)<n
（二）,AB=E,推出A行满秩，B列满秩。如果A为m×n,B为n×m,则R(A)=R(B)=m
（三）可逆矩阵，在左边的列满秩矩阵，在右边的行满秩矩阵都不影响矩阵的秩。
（四）
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矩阵的题型总结就到这了，总共四个大类，十几种小类。总之不可能把所有的题型囊括其中，只能力求尽善尽美，一口气写了四五个小时，如有纰漏之处，还请多多指正。原创不易，还请多多鼓励。接下来会更新空间解析几何的知识。大家一定不要错过哦。
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