——基于“几何概型”的课例研析
过燕晶 宁连华 (南京师范大学数学科学学院，210023)
摘要：课堂导入是数学课堂教学的关键环节。高质量的课堂导入能为后续的课堂教学活动带来便利和高效。对两节展示课例的导入部分进行分析与思考，展现课堂导入应该引导学生探究并提出课题。
关键词： 几何概型；课堂导入；案例分析；
课堂引入是数学课堂教学的关键环节。巧妙而有效的导入,不仅可以使学生聚焦课堂主题,还能引起学生浓厚的求知欲,唤起学生强烈的学习兴趣,让学生真正参与到课堂中.那么,怎样的导入形式才算有效？虽然数学课堂导入没有一个统一的评价标准，但笔者认为，良好的课堂导入应当能够引导学生探究并提出课题。本文基于2014年度全国数学教育研究会上的两节“几何概型”课例的课堂导入环节进行分析、思考，谈些认识.
课例1教学片断1：
情境:《青花瓷》这首歌全长有四分钟,它的高潮部分约在50秒末开始,到1分50秒末结束．小明最爱听这首歌,有一天,他正戴着耳机以单曲循环的播放模式听这首歌,这时,妈妈喊他有事．小明回来后,又立刻戴上耳机．请问:小明恰好听到这首歌高潮部分的概率是多少?
2. 问题情境应充分体现其价值
问题情境是思维的本源，在教学中适当而准确地创设问题情境，以问题为纽带来组织和调控教学，既能增强学生学习积极性，又能促进学生形成良好的思维品质，提高课堂教学效果。教师通过现实背景提出暗含性的问题:“小明恰好听到这首歌高潮部分的概率是多少”,这是本节课所要解决的具体问题,是一个值得探究的原始性问题.这个问题能不能用古典概率计算公式来解决？若不能，应该怎么做？分析这个问题与既有解决问题方法的差距所在,使学生产生认知冲突.教师通过启发性提示语引领学生类比古典概型的特点——基本事件的个数是有限个。此题基本事件的个数为无限个,基本事件个数从有限变成了无限，无法像古典概型那样计算。要解决这个问题，数“个数”不行了，转而要看基本事件对应的“点”所构成的图形。这样师生活动的焦点就集中在如何解决基本事件的个数为无限的问题，使得研究几何概型成为必然.
为导入新课而创设问题情境的根本目的在于揭示事物的矛盾或引发主体内心的冲突，打破主体已有认知结构的平衡状态，从而唤起思维，激发其内驱力，使学生进入问题者角色，真正融入学习活动之中.倘若教师在创设了富有启发性的问题情境之后,不能给出一些引导性提示语进一步激发学生的思考和探究活动,学生就不能认识到有研究本课题的需要。学生可能会在热闹的情境中糊涂地学习, 问题情境无法起到预设的作用。
教学片断2：
问题1：学习了古典概型后，大家有没有想到什么新的问题？
生1：古典概型的基本事件是有限个，但是很多实际问题中，基本事件有无数个。在当基本事件有无数个的时候，怎样求出其概率？
问题2：古典概型只解决了一类问题,不能解决所有的随机试验问题。你能举出一个不是古典概型的例子吗？
生2：在吃西瓜的时候，咬一口有时能吃得到籽，有时却吃不到籽，基本事件的概率不相等，就不是一个古典概型的例子.
生3：一块圆形区域，投一块磁铁，磁铁是否落入圆形区域，这个基本事件是无数个.
问题3：方才两位同学举出了非古典概型的例子,说说你是怎么想到的？
生4：基本事件的概率是不相等的，我想它就不是一个古典概型的例子.
师:下面我们把生3的例子提炼一下，看成这样一个问题.
问题：取一个边长为2的正方形及其内切圆，随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率.
生11:面积.
教学片断2的导入设计体现了导入的本质。
1.从无到有，提出课题——体现“探什么”
好的问题情境,可使学生在寻求问题解决过程中不断探究,不断发现。学生发现解决问题情境中的问题,已有的知识不够用了,需要研究与这个问题有关的未知问题,也就是本课的课题.为导入新课而创设问题情境的根本目的是引导学生认识到有研究本课题的需要,进而提出本课的课题,这正是教学片断1和教学片断2的本质差别.
教学片断2在导入环节中的问题情境主要由前两个开放性问题构成。核心问题是“如何求解非古典概型的概率”.教师并没有代替学生思考直接提出问题，而是在教学伊始，抛出两个非常富有挑战性的问题.显然,问题是驱动学生思维展开思考的钥匙,启发学生自己提出新问题,举出非古典概型的例子,增加了学生思考和理解的深度.同时,提问属于启发性提示语,不但具有元认知意义,还具有方法论意义.对于这样具有挑战性的问题,学生无法立即解决，需要经过一番认真思考，激发了学生的学习热情.学生创造性地提出新的问题，慢慢体会到学习本节课的必要性.
反思性教学原理要求教师对学生的思考与回答要能经常提出追问、反诘.问题3通过回顾、质疑、追问、反诘学生举出的例子,让学生搞清楚自己是怎么想到的,也让学生明白，要举出非古典概型的例子,即举出的例子不能满足古典概型的特点.从学生的回答情况来看，这三个富有启发性的问题设计较成功，学生思维看似发散，实则通过认真思考都在围绕“非古典概型”的特点回答.
2. 从“有”到“深”,探索新知——体现“怎么探”
遵循学生的认知规律是数学教学不变的原则，教学设计必须立足于学生的认知起点，联系旧知，探索新知.基于教学片断2的前三个问题，学生经历了从无到有的探究过程.
接下来，教师通过不断设问,排除次要因素,突出主要因素,揭示出本节课真正的问题。细化后的课题，是在师生协作下形成的一个新课题,这个新课题源于初课题,又高于初课题.教师的这些具有梯度和层次的设问,保证了学生较大的探索余地和思考空间.这些问题,有的可能是事先预设好的,有的可能就是课堂生成的，体现了教师教学有法。
这些问题中，“古典概型的概率公式和这个计算式子在形式上面有什么关系?”“为什么有这种替代?”让学生集中注意教材中的一些关键点，也让学生体会到数学公式需要经过严格的论证才能得到.“我们分析一个随机试验的概率问题首先考虑什么？”“为什么可以用面积比得到这个概率呢？”让学生从探究中认识到还存在没有解决的问题,还有需要探究的问题。基本事件的个数为无限，数是数不清了，可以整体来看，即看它们的集合——线、面、体，进而自然提出课题。这样层层递进的设问，可谓独具匠心.
三、反思
教学有法，但无定法.数学课堂导入虽然只是短短的几分钟，但课堂导入的成功与否直接影响到后续整个课堂教学的发展，如何实现有效的导入，这是值得每位教师反复思考的问题。
参考文献：
[1] 涂荣豹,宁连华,徐伯华.中学数学教学案例研究[M].北京：北京师范大学出版社,2011.
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