2022年高考数学一卷第19题-立体几何题
如图， 直三棱柱ABC-A’B’C’的体积为4， 三角形A’BC的面积为2√2，
求（1）A到平面A’BC的距离。
求（2）设D是A’C的中点，AA’=AB, 平面A’BC垂直于平面ABB’A’, 求二面角A-BD-C的正弦值。
解：这又是一道比较难的题， 但本题的第一问比较简单，第二问的解答以后给出。
如图，做三角形A’BC 底边BC的高A’F. 连接AF。
直棱柱说明A’A垂直于底面ABC， 因此AA’ ⊥BC , 此外根据所做的高线BC⊥A’F
因此BC垂直平面A’AF, 所以三角形ABF直角三角形，∠AFB=90°
在图中设AB=a, BC=b, ∠ABC=α,
同时设高A’F=m, 高AF=n, 点A’到平面A’BC 的距离为d.
三角形ABC的面积S=(absinα)/2=nb/2
根据棱柱的体积V=Sh=hnb/2=4, 即 hnb=8
而三角形A‘BC的面积A=bm/2=2√2, 即bm=4√2
V/A=hnb/(bm)=8/(4√2)= √2
即hn/m=√2
由于AE是高，即AE垂直于A’F, 在直角三角形A’AF 中，由于BC垂直于平面A'AF,则BC垂直AE，所以AE垂直平面A'AF ,因此AE就是所求的距离，如图：
根据面积相等 hn/2=md/2
所以d=hn/m=√2
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