已知等腰三角形ΔABC中,AB=AC=b,BC=a,∠A=20°,求证:a^3 b^3=3ab^2.

分析:欲证a^3 b^3=3ab^2,就是寻找a、b之间的关系式。因此,设法找出或构造特殊的三角形或相似三角形。由已知,等腰三角形顶角20°,所以底角为80°,因为80°减去20°等于特殊角60°,因此,把底角∠ABC分为一个20°和一个60°角,经尝试,作∠CBD=20°较好。

顶角140度的等腰三角形图形(经典再现14顶角为20)(1)

证明:作∠CBD=20°,BD交AC于D(如图).

因为AB=AC,∠A=20°,

所以∠ABC=∠C=80°,

所以∠ABD=60°,∠BDC=80°,

所以∠BDC=∠B=80°,

所以BD=BC=a,ΔBCD∽ΔABC,

所以BC/AB=CD/BC。

即a/b=CD/a,

所以CD=a^2/b。

在ΔABD中,

AD=AC-CD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b,

∠ABD=60°,AB=b,

由余弦定理,得

AD^2=AB^2 BD^2-2AB•BD•cos∠ABD,

即[(b^2-a^2)/b]^2=b^2 a^2-2ba•cos60°,

去括号、去分母,得

b^4-2a^2b^2 a^4=b^4 a^2b^2-ab^3

整理,得

a^4 ab^3=3a^2b^2

两边除以a,得

a^3 b^3=3ab^2.

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