已知等腰三角形ΔABC中，AB=AC=b，BC=a，∠A=20°，求证：a^3 b^3=3ab^2.
分析：欲证a^3 b^3=3ab^2，就是寻找a、b之间的关系式。因此，设法找出或构造特殊的三角形或相似三角形。由已知，等腰三角形顶角20°，所以底角为80°，因为80°减去20°等于特殊角60°，因此，把底角∠ABC分为一个20°和一个60°角，经尝试，作∠CBD=20°较好。
证明：作∠CBD=20°，BD交AC于D（如图）.
因为AB=AC，∠A=20°，
所以∠ABC=∠C=80°，
所以∠ABD=60°，∠BDC=80°，
所以∠BDC=∠B=80°，
所以BD=BC=a，ΔBCD∽ΔABC，
所以BC/AB=CD/BC。
即a/b=CD/a，
所以CD=a^2/b。
在ΔABD中，
AD=AC-CD=b-a^2/b=(b^2-a^2)/b，
∠ABD=60°，AB=b，
由余弦定理，得
AD^2=AB^2 BD^2-2AB•BD•cos∠ABD，
即[(b^2-a^2)/b]^2=b^2 a^2-2ba•cos60°，
去括号、去分母，得
b^4-2a^2b^2 a^4=b^4 a^2b^2-ab^3，
整理，得
a^4 ab^3=3a^2b^2，
两边除以a，得
a^3 b^3=3ab^2.
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