1.数学模型的意义
“数学模型方法”(mathematical modelling method) 简称MM方法它不仅是处理数学理论问题的一种经典方法，而且也是处理科技领域中各种实际问题的一般数学方法。特别，现代电子计算机的广泛应用和科学技术的数学化趋势，使得MM方 法已经非常广泛地应用于自然科学、工程技术科学与社会科学的一切领域中。例如，经济科学、军爭科学、交通运输等管理科学领域，都无例外地应用着MM方法。
如所知，现代各门应用数学所以具有解决实际问题的功能，主要就是通过提供数学模型方法而显示出来的。所以，凡从事应用数学的科研工作者，都必须精通MM方法。
“数学模型”的含义很广。粗略说来，数学模型乃是针对或参照某种事物系统的特征或数量相依关系，釆用形式化数学语言，概括地或近似地表述出来的一种数学结构。当然，这种数学结构应该是借助于数学概念和符号刻画出来的某种系统的纯关系结构。所谓纯关系结构是指已经扬弃了一切与关系无本质联系的属性后的系统而言。所以，在数学模型的形成过程中，已经用了抽象分析法。也可以说，抽象分析法是构造数学模型的基本手段。
仔细说来，数学模型有广义的解释和狭义的解释。从广义上讲，数学中各种基本概念，如实数、向量、集合、群、环、域、 范畴、线性空间、拓扑空间等等都可叫作MM，因为它们都是以各自相应的现实原型（实体）作为背景而加以抽象出来的最基本的数学概念。这些可称为原始的MM。
例一：欧氏几何是关于直觉空间形体（刚体运动下图形结构不变的形体）关系分析的MM。
例二：自然数1, 2, 3,…,…是用以描述离散数量的MM。
例三：每一个代数方程式或数学公式也都是一个MM。例如，
就是一类具体应用问题的MM。
总之，按广义的解释，凡一切数学概念、教学理论体系、各种数学公式、各种方程式（代数方程，函数方程、微分方程、差分方程，积分方程…）以及由公式系列构成的算法系统等等都可称之为MM。
但按狭义的解释，只有那些反映特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构才叫作MM。例如，在应用数学中，MM一词通常都作狭义解释，而构造MM的目的就是为了解决具体实际问题。
2.数学模型的类别及简单例子如前所述，在现代应用数学中，数学模型往往是对特定对象系统中的量的关系方面的模写。由于特定问题是形形色色、千差万别的，因此，针对具体问题具体对象去建立MM时，必须进行具体分析。大致说来，MM可分三大类。
一类是确定性数学模型。这类模型所相应的实体对象（又称背景对象）具有确定性或固定性，对象间又具有必然的关系。这类模型的表示形式可以是各种各样的方程式、关系式、逻辑关系式、网络图等等。所使用的方法无非是经典数学方法。
二类是随机性数学模型。这类模型的背景对象具有或然性或随机性。MM的表示工具无非是概率论、过程论及数理统计学等方法。
三类是模糊性数学模型。这类模型所对应的实体对象及其关系均具有模糊性。MM的基本表示工具便是Fuzzy子集合理论 及Fuzzy逻辑等等。
当然，从复杂多变的实际对象关系中分析结晶出来的数学模型也可能是兼具随机性和模糊性的混合型数学模型，表现这类 MM所使用的数学工具也就不能是单纯的一门数学了。
为了便于说明MM方法，下面举几个简单且熟知的例子，目的无非是为了总结出一般性的思想方法。
例一：哥尼斯堡七桥问题。
欧拉解决这个问题的思想方法，其实也就是MM方法。七桥问题这样一个实际问题，就是MM的现实原型。通过抽象分析，七桥问题被抽象成线路拓扑的一笔画问题。后者便是前者的MM。 建立MM之后，便可在MM上进行逻辑推理和论证，推出的结论是无解。然后再把这个结论对应地翻译回去，即返回到现实原型上，便得到实际问题无解的答案。
上述思想方法可用框图表示如下：
显然，这个例子中的MM是个确定性模型。
例二：关于物体冷却过程的一个物理问题：设某物体置于气温为24°C的空气中，在时刻t=0时，物体温度为u0=125℃。经过10分钟后物体温度变为u1=100℃。试决定该物体温度u与时间t 之间的关系并计算t= 20分钟时物体的温度。
为解决此问题就需要构造一个MM。首先，要对问题作定性分析。鉴于该问题仅涉及必然性现象，故应作确定性数学模型。又为了能用形式化数学语言表述MM，而这个MM反映的是物理现象（物体冷却过程），故还必须应用物理学定律——牛顿冷却定律：热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导的。在一定温度范围内，一个物体的温度变化速率恒与该物体和所在介质之温差成正比。、
解此问题的思路类似于例一，即如下图所示。
在上述问题里，物体温度u应是时间变量的连续函数，不妨记为u=u(t)对初始温度而言，温差为u0-u*（u0为空气介质温度）。我们又知道，应变量（函数）的变化率可用微高（导数） 概念来表述。于是，物体冷却过程（现实原型）的数学模型就是如下形式的微分方程：
这k是比例常数，在具体的问题里可以确定下来。
具体问题要求找出函数关系u=u(t)的显示表示。为此，解上述微分方程，易得
按初始条件t=0;u=u(0)=u0故得
也即有
或
这便是所要寻求的方程解，它是冷却过程数学模型的显示表示。
有了上述一般性模型之后，只须实际问题里的具体数据一一代入，即可得出
由此确定k=0.051。因此针对具体问题的特殊模型为
特别，命t=20代入则得
这便是所要寻求的问题答案（这里我们对方程中出现的数量已翻译为物理量，例如64°即表示摄氏64度。
例三：布丰（Buffon）投针实验的数学模型问题（这个著名例子在现代概率论教程里经常谈到）。试在平如上划出一组间隔距离为一寸的平行线。以一寸长的针（质量均匀的细针）随机地掷到画有平行线条的地面上，问针与平行线接触的机会有多大？
首先分析一下：现实原型（实体对象）具有随机性、或然性。故所求MM必为一随机模型（或概率模型）如图示。
显然都具有随机性，故l、θ均为随机变量，且各取可能值的机会均具有“等或然性”。
在所讨论的问题里，现实原型为投针实验问题，即细针触线的机会问题。通过引进随机变量θ与展也就可表述为一个概率计算问题，后者便是前者的数学模型。
以P表概率,E表概率均值（数学期望），则相应的MM即可表述为
经过简单计算可得
因此投针问题所要寻求的机会（概率）即等于2/π。
我们知道布丰曾利用实验验证了上述结论（由MM导出的结论）的实际可靠性。可见数学理论分析出来的模型确实能反映客观规律性。
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