三角尺的秘密
2019年1月15日星期二
你文具盒里的三角尺是什么样子的？
常用作图文具
三角尺为什么是这个样子的？
当然，三角尺的几何形状自然是“三角形”。这个问题并不是在纠结三角尺的外形为什么不是四边形、圆形或其他，为什么上面会印制有不同的广告和图案，而是在较真为什么是这样的一对三角形。全世界的三角尺无论大小、材料、使用对象和场景，似乎都具有形状上的相似性，好比不同比例尺的地图，不同大小的国旗、国徽。外形背后的具体秘密是什么，抑或制造的标准或约定是什么，才是本文要探讨的。
本文的阅读受众定位于小学生，自然也以“三角尺文具”为主要讨论对象。高级受众应当谨防不慎阅读后产生的智商“被低估”或“被侮辱”的不适感觉。
随着数学学习的逐步深入，小学生使用的测量、作图文具越来越多。由直尺、三角尺、量角器再到圆规，逐渐盛满了文具盒。了解并熟练地使用这些文具，是重要的数学技能。
小学生最先使用的作图文具应该是直尺。一方面是画直线的需要，另一方面是学习长度单位“厘米”、测量线段长度的需要。直尺把抽象的单位“厘米”具体化、形象化了。按理说，真正的使用直尺应该在小学二年级。一年级对于计量单位的学习主要是时间单位“整时”的认识和货币单位“元、角、分”，这二者具有广泛而深厚的生活基础，较早地进入了学龄前儿童的生活经验中。然而，一年级学生也可能使用直尺，因为进入小学要背小书包，小书包里要有文具盒，文具盒里爸爸妈妈有时也会稍带着准备一把直尺。他们时常会拿着当“兵器”玩，偶尔也会发现，有了直尺后，可以用铅笔画出笔直的线，比较漂亮的线。当然，这种用法只能算是玩具和美术的运用，而不是数学的运用。
人教二数上册3页
接下来应该是三角尺。除了继续发挥直尺的作用，三角尺最初被用来认识“直角”、画直角、比较角。
人教二数上册39页：认识直角
人教二数上册40页1：认识直角
人教二数上册40页2：画直角
人教二数上册41页：比较角
然后是量角器。三角尺虽然被用来“认识直角、钝角、锐角”，但也只是直观认识。对角的深入认识和测量角，需要借助量角器。量角器对于小学生而言，算是一个复杂的文具了，直到小学四年级才开始认识和使用。这时，测量对象由线段变为角，文具外形由直变曲，刻度复杂，内外圈颠倒排列，一个中心点，一条起始线，一条终止线，操作要点也多了。再加上抽象的角度单位无关乎长短，只关乎张口之大小，许多孩子必是要好好领悟、练习一阵子，犯过多种花样错误后，才能慢慢熟练。这个测量工具对于大多数孩子来说，绝对不是“自来熟”。
人教四数上册40页
小学阶段最后一个作图文具是圆规。圆规自然是用来画圆的。小学六年级学习“圆”，必然要使用圆规。圆规的操作算是“极易上手”的，或许是孩子们大了点，动手能力强了，作图经验丰富了，但本质上还是有历史渊源的。据说，人类最早能画出的漂亮图形是直线和圆。
人教六数上册58页
拉直绳子
墨斗弹线
树杈
手指画圆
绳子画圆1
绳子画圆2
圆规
圆规比树杈“高级”的地方在于，它的两脚之间的叉口是可以固定和缩放的，能够画出大小不一的多种圆，作为文具便于收纳和使用。不过，想必远古的人们对于树杈还是情有独钟、充满激动的。他们不光可以用树杈做弹弓，闲暇时也可以将树杈在地上旋转一圈，画出一个漂亮的“圆”来，就仿佛天上圆圆的月亮或溅落水面漾出的涟漪。然后死盯着地面上匀称、美丽的图案，指手画脚、七嘴八舌，彼此沉浸在充满惊奇、成就感的幸福之中。
山间圆月
涟漪
或许，现在的孩子们见多识广，对于文具已经鲜有“原始的激动”，总是有点习以为常的淡漠和自以为是的高傲，总是觉得不过如此，没有必要折腾。然而，本文立意恰好相反。
了解三角尺的秘密，我们主要站在人教版《数学》四年级上册“角的度量”一章的学习阶段。本章就学习内容而言，毫无疑问直接相关的是量角器的认识和使用。本文所以避开量角器而谈三角尺，是因为三角尺在“角的度量”一章将有更深入的认识和更灵活的应用，而这些往往被忽略。用量角器可以灵活地画出任意大小的角，但特殊的角的作图，也可以便捷地交给三角尺完成，尤其当您的文具盒里偶尔没有量角器时，您只能动动脑看能不能依靠三角尺解决。这种“特殊的角”和三角尺的规格直接相关。这种规格可以从三个方面表达：
①角度：
我们姑且将左右两个三角尺称呼为：长三角尺、短三角尺。
可见，长三角尺的三个角的度数分别是：90度、60度、30度；短三角尺的三个角的度数分别是：90度、45度、45度。这些角度，您也可以利用量角器验证一番。
两个三角尺一共有4种特殊的角度：30度、45度、60度、90度。这也算是“集合”去重计算中一个小小的应用：3＋２－１＝4（种），因为“长三角尺的角度集合”有3个元素，“短三角尺的角度集合”有2个元素，二者相互交叉、重复的部分只有90角。
②来源：
长三角尺来源于最漂亮的三角形：等边三角形（也叫正三角形）；短三角尺来源于最漂亮的四边形：正方形。长三角尺是正三角形的一半，短三角尺是正方形的一半。或许，大家也应该记住这个结论的“逆命题”：
两个长三角尺可以拼成一个正三角形；
两个短三角尺可以拼成一个正方形。
③关联：
正三角形和正方形的关联
正三角形的高等于正方形的对角线。
三角尺的关联
长三角尺的长直角边等于短三角尺的斜边。
这些特点便是所有三角尺“相似”的原因。
（重要程度★★★★★）
三角尺既可以单独使用，也可以组合起来使用。
文具的组合使用常常带来神奇的妙用。比如三角尺的组合或者三角尺和直尺的组合，在四年级上册接下来的学习中就可以便捷地完成“过直线外一点作已知直线的平行线”的作图。再比如，占据初中几何大量学习时间的“尺规作图”，讲究的是“无刻度直尺”和“圆规”的组合使用。这种“尺规作图”甚至在数学历史上产生过许多经典的“作图难题”，比如：三等分角、立方倍积、化圆为方、正七边形作图……“数学王子”高斯在19岁时发现了正十七边形尺规作图的可行性后，视为生平得意之作，甚至交待后人要把正十七边形刻在他的墓碑上。
约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（1777年4月30日－1855年2月23日）
正十七边形
然而，这些“后来的学习内容”本文不作更多讨论。我们将专心致志地把关注点放在三角尺的组合使用上，看一看在“画给定度数的角”的作图上，三角尺能够抢占多少量角器的空间。
量角器画角
单独使用三角尺，可以画出4种特定角度的角：30度、45度、60度、90度。
组合起来使用（包括加法组合与减法组合），可以更多。依次是：15度、75度、105度、120度、135度、150度、165度、180度，共8种。
合并两种情况共有12种特定度数的角。这些角的讨论范围是：不超过180度也即平角。因为对于一个大于180度的“优角”作图，总是可以通过“周角－优角＝劣角”转换为“劣角”（小于平角的角，锐角、直角、钝角都是劣角）的作图的，只不过我们会将“角的张口小弧线”画在反面。
下图是三角尺加法组合画角示意图。
三角尺加法组合示意
从算式分析，一共有6种组合情况：
错误的组合图
二分图
①30＋45＝75（度）
②30＋90＝120（度）
③60＋45＝105（度）
④60＋90＝150（度）
⑤90＋45＝135（度）
⑥90＋90＝180（度）
随着学习的深入，您会发现：所有的三角形，项多有一个直角；平角的作图，只需使用直尺就可以办到。
减法组合同上：
①45－30＝15（度）
②90－30＝60（度）
③60－45＝15（度）
④90－60＝30（度）
⑤90－45＝45（度）
⑥90－90＝0（度）
但是组合来组合去，只得到一个有价值的结果：15度。
15度组合
这是三角尺组合所能作出的最小度数。至此，所有15度的倍数都能胜任了：
15×1＝15（度）
15×2＝30（度）
15×3＝45（度）
15×4＝60（度）
15×5＝75（度）
15×6＝90（度）
15×7＝105（度）
15×8＝120（度）
15×9＝135（度）
15×10＝150（度）
15×11＝165（度）
15×12＝180（度）
至于其中用三角尺画165度角的具体组合方法，就交给聪明的您去想一想了……
再会。
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