在我们开始之前，请注意，以任何有意义的方式讨论电磁学就意味着要讨论向量演算。请不要害怕，即使你不知道任何符号和术语的意思。向量微积分很难，但它的核心思想是直观的，我会在接下来的过程中解释一切。
在国际单位制中，麦克斯韦关于电场和磁场的著名方程是：
这些是在存在电荷函数ρ和电流j的情况下，电场E和磁场B的微分方程。ε₀和μ₀是物理常数，称为真空的介电常数和磁导率。光速c满足一个重要的关系式c² = 1/ε₀μ₀。当指定了场的边界条件时，这些方程完全且唯一地决定了场。
通常，对于给定的边界条件、电荷和电流结构，人们不会试图直接求解这些方程。相反，人们发明了许多数学技巧来简化许多不同类型的问题。然而，理解这些方程式背后的物理原理仍然很重要。
电场和磁场在电场E和磁场B存在下，速度矢量v且速度远小于c的电荷q受到洛伦兹力的作用：
有趣的是，在相对论的情况下，当力F表示相对论动量的时间变化率而不是经典动量时，这仍然是正确的。洛伦兹力中有两项。第一个是qE，称为静电力。这个力是由静电荷产生的电场E引起的。第二种力是qv⨯B，称为磁力。符号⨯被称为叉积，它表示一个垂直于v和B的向量，其大小为|v||B|sin(θ)，其中θ是v和B的夹角。
文中的一些字符如绝对值等可能会显示错误，或者不显示，大家见谅。
- “右手定则”是一个很有用的助记法，它可以帮助我们记住叉乘中向量的方向。
磁场B由电流产生，并与移动电荷相互作用产生力。电流是电荷乘以速度所以qv是电流项，由此可见，磁力在电流之间起作用。
为了简化问题，我们假设电流和电荷是相互独立存在的实体。这显然不是事实因为电流是移动的电荷，但当我们开始讨论移动的电荷时，我们必须引入狭义相对论。然而，就像詹姆斯·麦克斯韦和他的同代人一样，没有相对论我们也能走得很远。事实证明，麦克斯韦的方程已经是相对论性的了，尽管19世纪的物理学家不可能意识到这一点。
所以对于我们的目的，静止电荷通过电场对其他静止电荷施加力，电流通过磁力对移动的电荷产生作用力。
回旋运动是洛伦兹力的一个例子。假设一个磁场垂直于一个纸面，一个电子的速度矢量，完全在这一页的平面内。
x符号表示一个指向纸面的均匀磁场。这个力矢量（红色的），是v和B的叉乘，所以根据右手法则，力矢量指向圆心。如果一个电荷在均匀磁场中有一个垂直于B方向的初始速度，那么电荷将以恒定的速度圆周运动。这叫做回旋运动。
电子管是一种可以展示回旋运动的设备。自由电子通过加热一个小的灯丝并在器件周围的小区域产生一个电场来产生初始速度。两个线圈在电子管中产生的电场近似均匀，所以它把电子的运动拉成一个环。当电子撞击低压气体的原子时，它们就会发光。
矢量场，场线和通量电场和磁场都是矢量场。矢量场是将矢量赋值给空间点的函数，如下图所示，电偶极子的电场矢量由 （ 1，0）处的正电荷和（-1,0）处的负电荷组成。请注意，为了清楚起见，矢量只表示方向而不表示大小。
你可以看到电场矢量远离正电荷指向负电荷。由于作用在电荷q上的力由F=qE给出，这就对应于符号相反的电荷相互吸引，符号相同的电荷相互排斥。我们假定电场的源不移动。
和向量场的向量一样重要的是电场线。对于电偶极子电场线你们很多人可能都很熟悉。
为了更清楚地了解电场线，让我们把它们和电场向量一起显示出来：
这张图显示了电场线的一些重要性质。
- 磁力线不仅仅是空间中的曲线，它们也有方向。场线始于源极，并终止于负极。
- 磁力线与每一点的磁力线相切。
- 磁力线永远不会相交，否则交点的矢量会同时指向两个方向，这是不可能的。
- 磁力线不断地改变它们的方向。
现在让我们把重点从电磁学转到流体动力学上来。假定在源周围，面积密度为ρ的水的速度在每一点由向量值函数v(r，θ)给出，其中r是到光源的径向距离，θ是r的位置矢量与水平面的夹角。
假设源位于蓝点处，边界S是一个半径为r的圆，每秒有多少水流过这个边界？
量纲分析是解决这类问题的好方法。我们需要以kg/s 为单位的量，已知面积密度的单位是kg/m²，速度单位是m/s。我们可以把它们结合起来得到单位面积上的动量，其单位是 kg/m⋅s。如果我们可以从这个量中消去1/m的单位那么我们就会得到正确的单位。这让我们想到了对ρv沿曲线C对长度l积分，但ρv是一个矢量我们要求一个标量，所以我们需要引入点积。因为水流过S，我们可以很自然地猜测曲线C应该是圆S，这个向量应该是指向圆外的单位向量。结果证明这是正确的方法，这个问题的答案就是量：
这叫做向量场v在边界S上的通量。一个三维矢量场通过一个表面或一个二维矢量场通过一个曲线的通量可以解释为告诉我们矢量场在表面或曲线上“流动”了多少。如果v是任意向量场，S是包围v区域（体积或面积）的边界（曲面或曲线），那么我们也有非常重要的散度定理，我们在这里提出，但无需证明：
因此，总通量边界的体积等于的积分∇⋅v内卷，所以我们可以认为∇⋅v通量离开每一个点在诉数量∇⋅v叫做的散度，这是前两个的主题的麦克斯韦方程。这样，在体积边界上的总流量就等于在体积内的∇⋅v 的积分，因此我们可以把∇⋅v看作离开v内每个点的流量。∇⋅v的数量叫做v的散度，它是麦克斯韦方程的前两项。
高斯定理
这就是高斯定理的微分形式。我们先考虑积分形式。设S为封闭曲面，S所围成区域的总电荷量为q，则：
所以高斯定理告诉我们，电场通过S的通量是，被S包围的总电荷除以介电常数。这个定理的一个重要特征是，S可以是任何完全封闭电荷分布的表面，而通过该表面的通量是相同的。
用散度定理得到微分形式：
注意，一般来说，ρ是位置的函数。我们将不考虑它也是时间函数的情况，因为那将需要狭义相对论。
微分形式可以认为是应用于包围空间中每一点的无限小球体的积分形式。
高斯定理告诉我们一些有用的信息：
- 如果ρ(x,y,z)是正的，那么通量离开点(x,y,z)是正的，如果ρ(x,y,z)是负的，那么通量离开点(x,y,z)是负的。这就证实了我们先前的观点，即磁力线起源于带正电荷，终止于带负电荷。
- 如果空间区域内没有电荷，那么任何进入该区域的电场线都必须退出该区域。
让我们推导库仑定理来证明高斯定理。假设点电荷Q位于原点，测试电荷Q位于距离原点r处。由于F=qE，这个问题可以通过q求出E来解决。设高斯曲面S是一个以原点为中心，半径为r的球体。让我们先写出高斯定理：
单位矢量是径向的，半径为r的球面的微分面积元dS为r²sin(θ)dθdφ，其中φ和θ如图所示：
因此：
由于对称，我们可以看到电场只取决于到原点的距离，所以我们可以将它和r从积分中提出来：
E必须是径向的，因为电场作用在两个电荷之间的线上：
得到F=qE时的库仑定律：
这个定律告诉我们所有的磁场都是无散度的。这意味着：
- 在磁场存在的情况下，进入或离开任何区域的净磁通均为零。任何进入任何区域的场线必须退出该区域。
- 所有的磁场线形成闭合的回路。
- 磁场线没有源点和汇点。同样地，我们可以说磁单极在经典电动力学中不存在（它们是否存在于量子电动力学中还没有定论）。
高斯磁学定律最重要的用途是定义矢量势。
保守场
如果粒子在三维力场中沿着任意形状的曲线运动会怎样？假设F是一个力场，粒子沿着曲线C运动，曲线C可能形成也可能不形成一个闭合的环路。在曲线上的任意一点，我们可以说F是一个有三个分量的向量（为了让特殊字符正常显示，这里用图片表示）：
只有F在路径方向上的分量起作用，所以我们取它与êₜ的点积，并对路径的微分长度元素dl进行积分：
有一类特殊的力场叫做保守场，可以写成势能函数的负梯度，F=-∇U。如果是这样，那么线积分微积分基本定理告诉我们：
这意味着对于保守力场，质点从A点运动到B点所做的功只取决于这些点，而不取决于所选择的路径。事实上，这通常是作为一个保守力场的定义但是保守场的定义是由势梯度产生的向量场是完全等价的，一个力场F是保守的当且仅当F = -∇U。
从这个方程也可以清楚地看出，如果粒子沿着任意闭合曲线C运动，那么所做的功是0。我们这样写：
积分符号中的圆表示积分路径是一个闭环。
除了散度定理，学习电磁学你必须知道的另一个定理是斯托克斯定理，我在没有证明的情况下给出了它。对于以C为边界的任意曲面S：
由此我们也可以立刻看到一个保守场的另一个等价定义：因为F是保守的，那么它是一个函数的梯度，而且因为∇⨯(∇a)对于任何函数a都是0，我们看到∇⨯F=0当且仅当F是保守的。我们可以把∇⨯F看作是一个场引起围绕一个点旋转运动的趋势。这个量被称为F的旋度，它是麦克斯韦方程的下两项。
麦克斯韦-法拉第方程
这是连接E和B的两个方程中的第一个。它告诉我们，在没有磁场的情况下，E是一个保守场。为了解释这个，我们先从我们知道的势能和动能开始。
物理系统将随着时间的推移以一种允许它们最小化其能量的方式进化。它们通过做功将势能转化为动能。在保守场中，一个粒子在一个闭合的环内运动是不做功的，所以一个保守力场不可能使一个初始静止的粒子在一个环内运动。闭合轨道的出现取决于初始速度，就像行星运动的情况一样。
假设我们想让一个最初静止的带电粒子在一个闭合回路中运动。这意味着，我们必须使电场是非保守的，所以我们必须使它的旋度为非零。我们求助于量纲分析。因为E的单位是N/C，∇⨯E 的单位是N/C⋅m，我们知道B的单位是特斯拉（1T = N⋅s/C⋅m）。因此∇⨯E的单位是 T/s。由于∇⨯E是向量场，这意味着，如果我们想让一个带电粒子在一个封闭的循环中运动，我们必须让它暴露在一个以T/s为单位的矢量场中。
既然-∂B/∂t是一个以T/s为单位的矢量场，这有可能就是我们要找的量，而麦克斯韦通过解释法拉第的实验数据确定了∇⨯E=-∂B/∂t。
我们可以用这个方程推导出法拉第归纳法，即：
这个量ℰ被称为线圈中的电动势，单位为伏特，是通过线圈所包围区域的磁场通量。电动势是单位电荷在环上移动一圈时所做的功，因此：
根据斯托克斯定理：
然后根据麦克斯韦-法拉第方程：
对时间的偏导数从积分中提出来变成了普通的导数，因为这个积分不依赖于位置。根据定义，这个积分是B通过C环的通量，这样就证明完了。
这就解释了为什么电路附近变化的磁场会在电路中产生电流。
安培全电流定律
最后我们得到安培定律。安培定律让我们完成了建立一个完整统一的电磁学和电磁波理论的过程。
让我们从∇⨯B=μ₀j的原始形式开始，它在没有时间时仍然成立。这告诉我们一个点周围磁场的循环与这一点的电流成比例。式中积分形式为：
也就是说，B绕一个闭合回路的积分，正比于通过这个回路的总电流。作为演示，我们可以用这个来找出导线周围的磁场。在这种情况下，切向量是在极角方向，所以如果我们把导线放在一个半径为r的虚环的中心，那么dl =rdθ。那么：
这形式化了绕着导线的磁场的右手定则：
在时间无关的情况下，E总是保守的，因为它的旋度是零。但是我们已经看到，即使在时间无关的情况下，B也只是在一个没有电流的区域中保守的，而最有趣的问题涉及电流附近的区域。此外，磁力F=qv⨯B绝不是保守的，因为它取决于速度。所以我们不能把B看作保守场。
现在我们来讨论安培定律右边的第二项，叫做位移电流。这个名字来自于另一个场，叫做电位移D=ε₀E。最初编写的安培定律不包括这一项，是麦克斯韦发现这是必要的。在此之前，安培定律的不完全性引起了一些问题。最重要的是，这意味着电磁波不可能存在。
在物理学中，波动方程是一种形式为：
算子的∇²称为拉普拉斯算子：
k是波在空间中传播的速度。如果函数f是一个向量场，那么向量的每个分量都满足这个方程。让我们假装不知道位移电流，试图得到自由空间（没有电荷或电流）的波动方程。麦克斯韦方程组就会是：
我们从向量微积分恒等式 ∇⨯(∇⨯A)=∇(∇⋅A)-∇²A开始，其中∇²A表示将拉普拉斯算子应用于A的每个组件函数。由于∇⋅E=∇⋅B=0，这意味着∇⨯(∇⨯E)=-∇²E 为电场， ∇⨯(∇⨯B)=-∇²B为磁场。在自由空间中，如果 ∇⨯B=0 ，那么我们不能得到正确的方程。对于E，我们得到：
对于B，我们得到：
为了解决这个问题，我们必须加入位移电流。当然，我们不能因为位移电流会给出我们想要的方程就插入它，我们需要证明它。为了做到这一点，我们假设问题在 ∇⨯B=μ₀j的方程中。取两边的散度∇⋅(∇⨯B)=μ₀∇⋅j，由于一个旋度的散度总是零，这意味着总是有∇⋅j=0。但事实并非如此。电流服从连续性方程：
这个方程表示，一个区域内电荷的变化率为流出该区域的净电流的负值。如果∇⋅j 为正，使得有净流出电荷，则该区域内的电荷必须减少，如果∇⋅j 为负，则相反。
这意味着我们必须：
ρ是某个向量场的散度。幸运的是，高斯定理告诉我们有一个向量场，它的散度等于ρ，它就是 ε₀E。如果我们将 ε₀∇⋅E代入ρ，并从两边消去散度，则得到正确的方程：
这给了我们正确的麦克斯韦方程：
现在我们可以得到正确的波动方程：
对于E。那么对于B：
这就是为什么这些方程是以麦克斯韦命名的，尽管麦克斯韦并没有发现它们所描述的定律。正是他巧妙的想法将位移电流引入安培定律，使经典电磁学理论得以最终统一。
结论如果你能坚持到最后，那你应该为自己感到骄傲。这是相当困难的事情，我们只是触及了表面。如果有足够的兴趣，那么下一篇文章将对有关相对论的一些观点进行扩展。
协方差协方差原理说，物理定律必须对宇宙中所有的观察者来说都是一样的，也就是说，描述这些定律的方程形式必须在所有参照系中都是一样的。
假设两个坐标系S和S '的原点沿x轴以恒定速度V相对运动。
两个坐标通过伽利略变换联系起来：
我们只考虑E的x分量的一维波动方程，协方差原理告诉我们，如果有人在S中观察到电磁波并确定波动方程是：
那么在S '中的观察者测量同一波时，必须观察到它们坐标下的方程：
我们可以通过在坐标上做一个伽利略变换来实现吗？利用变换和链式法则，偏导数变换为：
那么：
这意味着存在一个问题，它不是波动方程就是变换。它不可能是波动方程，因为麦克斯韦方程已经被实验验证过了，所以问题在于变换。为了解决这个问题，我们必须放弃我们对世界的一些最基本的想法，而引入狭义相对论。
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