解构神奇的印度乘法速算
（之四）
今天给大家带来的是印度乘法速算中计算最为简单的特殊模式之一的：“个位相同，十位互补的两位数乘两位数”的算理解构。
“个位相同，十位互补的两个两位数”，就是这两个数的十位都是同一个数字，而它们的个位相加刚好等于“10”，这样的一组两位数还是比较常见的，比如“39×79”，“43×63”，以及十位为“5”的两位数的完全平方，如“562”。符合这种模式的两位数乘法，比“十位相同，个位互补的两个两位数”的乘法稍复杂一点，但是仍然能够快速得到结果。
由于两个乘数的个位相同，而十位相加等于“10”，所以我们可以将这两个两位数分别表示为“a×10 b”和“(10-a)×10 b”，（例如：35×75时，可以把35表示为“3×10 5”，把75表示为“(10-3)×10 5”）：
与前面的文档一样，我们用代数的方法将它们相乘如下：
观察这个结论式：
“×100”表示的就是百位上的数值，
“×1”表示的就是个位上的数值，因此我们发现这个结论只需要在百位和个位填上数值，
“a×(10-a) b”，就是十位相乘后再加上个位，
“b×b”，正好就是这两个数的个位相乘，或个位的平方；
由于它们的个位相乘只能是两位数，所以甚至连进位都不用考虑，我们就得到了下面的结论：
两个乘数的个位相乘（或个位的平方）得到积的个位和十位（不足“10”的十位补“0”）；
两个乘数的十位相乘再加上个位得到积的百位和千位；
用图形表示如下：
整个计算过程，只需要进行一次先乘后加和一次完全平方就可以完成，全程没有进位，“秒出答案”又一次从理想变为现实。这里我们注意到，积的个位和十位组成的数一定是完全平方数，这也更加方便于我们检查。
这就是数学的神奇之处，这种神奇，在数学的奇遇中层出不穷，从计算到几何，从求解方程到看似复杂的问题，一旦你看透了它的本质，就可以“秒出答案”。
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