前阵子我给几个四五岁的小盆友上的通识课之后，其中那位女孩Phyllis的妈妈， 港大计算机硕士Sherry终于腾出时间， 也为他们上了第一堂数学启蒙课 。
相信各位读者一开始都会像我一样很震惊，幼儿园的小把戏也能这样教？ 然后也都会像我一样点点头， 幼儿数学确实就应该这样教。
以下，ENJOY:)
以下，是昨天上课的内容整理和我的思考。
吹牛皮，看谁说出最大的数
问每个小朋友几岁了，大家都很积极回答。小Ryan4岁多，大Ryan和Phyllis5岁，Kenneth说他6岁。Kenneth其实是刚5周岁，其他小朋友听不下去，他们开始吹牛了。
Kenneth：一万岁
Phyllis：十万岁
有点卡壳了，接下来是多少呢？
大Ryan：十一万岁
Phyllis：十二万岁
到九十九万岁的时候，又卡了一下
大Ryan：一百万岁
这下小朋友傻眼了，不知道什么能比一百万岁还多
大Ryan：两百万岁
Phyllis找到了灵感：三百万岁、四百万岁....九百万岁
大家又沉默了。
突然，不说话的小Ryan喊出了一千万岁。
激动人心的吹牛皮游戏被老师转移到别的话题上了。
四五岁的小朋友通过在学校蒙氏教具的学习，应该能理解“千”这个数量级，也隐隐有“万”的模糊概念。因此，他们一张口就说出他们知道的最大数量级，万。超过万以后的数字，他们并没有直观、具象的感受。在每次进位到更高数量级，比如百万、千万的时候，他们都需要花比较多的时间思考，但最终都能想得出下一个数量级，说明他们有了进制的概念。
进制可以作为之后的课程内容，十进制为讲解重点，二进制（计算机的实现方式）、十二进制（时钟）、十六进制（重量单位）、六十进制（时钟）也应该花点时间了解。
最大是3
有这么一个故事，说的是两个匈牙利贵族决定做一次数数的游戏——比比看谁说出的数字大。
“好，”一个贵族说，“你先说吧！”
另一个绞尽脑汁想了好几分钟，最后说出了他所想到的最大数字：“3”。
现在轮到第一个动脑筋了。苦思冥想了一刻钟以后，他表示弃权说：“你赢啦！”
你会不会觉得这两个匈牙利贵族好笨呀。你一定能说出比3大的数字吧？说来你可能不相信，很久之前的人类根本没有数字。直至今天，还有少数原始部落的人不会用数字来数数。他们的语言只有“一”和“二”这两个数字。如果要表示“三”，就需要用“二加一”来表示。超过“三”的数目他们统称为“许多”，因为他们也搞不清楚了，这对他们来说可太难了。
我们的小朋友数数的本领可比原始部落的人高出太多了，一下子数到一千万。可是，小朋友知道数字是怎么来的吗？
数字的发展经过了五个阶段：配对、比较、命名、排序和数数
配对，即一一对应
01
著名的荷马的史诗《奥德赛》中记载着一个故事：俄底修斯刺瞎了独眼巨人波吕裴摩斯并离开了库克罗普斯国，不幸的盲目巨人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨羊儿外出吃草，每出来一只，他就在一堆石子中捡起一块石子。晚上羊儿返回山洞，每进去一只，他就扔掉一块石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的羊全返回了山洞。
独眼巨人数羊的故事，就是使用配对的方法，一只羊对应一块石头，用石头的个数来代表羊的个数。
问孩子们，如果独眼巨人发现石头还剩1颗但羊儿没有了，是怎么回事？他们都回答丢了一只羊。那如果剩5颗石头呢？丢了五只羊。那，万一是羊多几只，但石头没了呢？小Ryan说因为早上没数对。真是聪明的孩子，这是很有可能的呀。当然也有可能是别人的羊跑过来了。
由于羊是活动的，石头是死物，在没有数字的时候，用石头代表羊群是一种更方便的计数方法。由于石头是具体存在的实物，以实物集合代表另一实物集合，说明这时候人类对于数的理解还是很具象的，需要和实物相联系的，人类对数的概念还没有形成较为抽象的认知。
一一对应是很重要的数学思想，因此我们花很多时间在这个概念上。
1）为了吸引小朋友，特地带了酸奶，将酸奶和勺子分开两排摆放好，可直观了解酸奶和勺子是一一对应的。
2）由于小朋友们都是脱了鞋坐在报纸上，人和鞋也是一一对应的关系，问小朋友可否通过有几双鞋子来知道有多少人。四个孩子都能通过鞋子得知人的个数。
3）大Ryan和Kenneth都会国际象棋，以国际象棋为道具，棋子和棋盒的凹槽是一一对应的，故意拿走两颗棋子，棋盒空出两个位置，一眼就被孩子们发现了，没有一一对应。
现实生活中还有很多一一对应的例子，比如碗配勺、牙刷配牙杯，还比如电影院的人配座位等等。
除了石头计数，人类文明史上，还有很多种不同的计数方式，比如刻痕计数、结绳计数，用贝壳、树枝、竹片计数等，这些都是用配对，即一一对应的方法。
一一对应的拓展
一一对应的思想是人类数学发展史上的一大进步，它也是现代数学的基本思想方法之一。数学家康托尔就是采用一一对应的思想来比较集合的大小的。
基数概念，对于有限集合，基数即集合中包含的元素的个数。比如，集合 {1,2,3}和{2,3,4} 这两个集合的基数都为3。对于无限集合，我们没办法得知集合中元素的个数，那该如何比较两个集合的大小呢？
康托尔通过一一对应的方法，把两个集合的元素一对一的排起来——若能做到，那可以说两个集合的基数相同。比较X、Y两个集合的大小，在不知道X、Y元素个数的情况下，将X中的元素和Y中的元素采用一一对应的比较方式，就很方便比较出哪个集合元素个数更多。
思考一个问题，奇数集合和偶数集合哪个的基数大呢？
采用一一对应的比较方式
奇数集合1234······
偶数集合2468······
这样无限比下去可以知道奇数集合和偶数集合有相同的基数。
再思考一个问题，自然数集合和偶数集合（偶数集合是自然数集合的子集）哪个的基数大呢？答案是一样大，为什么呢？
比较的概念
02
有了配对的概念后，比较的概念也就顺理成章地发展了。通过一一对应的方法，我们能在不知道事物具体数目的情况下，明了两个集合事物的多少关系。因为如果其中一个集合的事物先配对完了，那说明这个集合的数目比较少；如果两个集合的事物同时配对完，说明两个集合数目一样多。
摆上五颗糖果，再一一对应上棋子，可以看出糖果和棋子是一样多。将棋子多摆放一个，问孩子们哪个比较多。多摆放两个糖果，再问孩子们哪个比较多。通过具象的实物，小朋友们都能知道答案。根据小学一年级（上）的数学内容，我问他们一些抽象的问题，比如比5大1的数是什么、比7小1的数是什么，10以内的大1或者小1的问题对他们而言是很轻松，可以通过心算得到。提高下难度问比7小2的数，这下乱了，又是4又是5。后来，通过摆放实物，七个棋子和五颗糖果，他们知道比7少2是5。他们当下可能还未完全消化“比7小2”这个问题，虽然10以内的加减法可能可以心算出来，但抽象文字转化为抽象数学式子，再心算，对他们来说已经绕了三道弯了。
清楚“某数大1小1是什么数”挺重要的，它能考察孩子们不是单纯背数字，而是真正知道每个数字按顺序下来的规律。这是数字发展第四阶段“排序”的规则，也是小学一年级（上）要掌握的内容。
另，我在回来的路上问瑶瑶，她是否不理解“比7小2”是多少，她说知道，且回答5。我再问了“比15小2”，“比17小3”等，她也都回答正确。最后考了“7 8”，她想了一会儿回答我“15”。问她如何算出来，她告诉我是通过手指头。具体怎么通过手指头算15我没问，但看来通过实物做算数还是更适合这个年龄段的小朋友。
培养孩子的“数字感”也挺重要的。比如说对于10，可以是1和9、2和8、3和7，可以是2个5、5个2等，通过玩转每个数字，掌握数字拆合方法，对于之后加减乘除的学习很有利。之后可以多多玩数字拆合游戏。
数字的命名
03
就像我们每个人都有名字一样，随着数字的发展，给数字取个大家都接受的名字特别重要。如果没有名字，那我们在说Phyllis的时候，就需要描述她的很多特点，比如说她是个五岁多的小女孩，剪着短短的头发，她喜欢Elsa等等。即使我们花了很大力气去描述，对方可能还搞不清楚，因为五岁多、剪着短短的头发、喜欢Elsa的小女孩有很多呢。数字也一样，如果数字没有自己确定的名称，比如每个人对“二”的叫法都不一样，那人们就很难用数字沟通。而且，每个数字的名字还要不一样才行。如果像大Ryan和小Ryan都叫Ryan一样，有两个数字都叫“三”，那我们也很难区分“三”到底指的是哪个数字。
数字的名字是怎么发展而来的呢？举数字“二”为例。古代的人为东西配对的时候，可能注意到两颗石头可以和两只眼睛、两只耳朵配对。在没有石头的情况下，要表示两只羊，他们可能会用手指着眼睛，然后说“像眼睛一样多的羊”。渐渐地，当“像眼睛一样多”这种用法越用越多的时候，一提到“眼睛”大家都知道是指“二”。
世界上有些地方的人，把“二”叫做“眼睛”，即“眼睛”和“二”是同一个发音；在另一些地方，把“二”叫做“耳朵”，即“耳朵”和“二”是同一个发音。在中国，“二”和“耳”的发音就很接近。
在追溯所有数字的命名中，只有“五”的名字来源是比较能确定的。古代大多数民族都是用五根手指来为五命名。有些民族的文字中，“五”和“手”是使用同一个符号。早期美国西部的印第安人，只要画一只手和一棵树，就可以表示五棵树的意思。
数字有了名称以后，要说两头牛就不必用两颗石头来表示，只需要说“二”头牛就行了。这样，原来的具体的代表集合后来开始以数字的抽象形式出现了，而且用口头说“二”也方便很多了。
参考：
\1. 《数是怎么来的》 [美]明德尔·西托默
\2. 《数学与生活》[日]远山启
\3. 《好的数学——数的故事》韩雪涛
\4. 《数字博物馆》[意] 皮耶尔乔治·奥迪佛雷迪
\5. 基数（数学）_维基百科：en.wikipedia/wiki/Babylonian_numerals
THE END
以上，就是数学启蒙第一堂课的内容啦。
第一次当老师，四个孩子乖巧可爱、聪明伶俐的孩子，一堂课下来居然有透支的感觉。这让我对幼儿园老师们产生了极大的感激之情。面对那么一大群孩子，要授予知识、又要关心身心健康，真不容易。同时，深深感谢人文启蒙课的陈老师，音乐启蒙课的Hannah老师，把一件简单的事情做好不容易，把教书育人这么重要的事情做好更不容易，他们在我之前已付出了很多。
另一个感悟，如果要高质量的教育，还是得小班制教学。
Sherry对于幼儿的英语习得也很有研究。 有兴趣的读者， 请关注她的公号。
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