考纲要求

常微分方程的定义:含有自变量x,未知函数y及其导数y'的方程叫做常微分方程。如xy-y′=0;y′′ 2y′-3y-x=0;y′-y=0等。

其中,未知函数导数的最高阶数叫做常微分方程的阶。

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(1)

【两个专业名词】

通解:解中含有表示任意的常数C;

特解:不含任意常数的解。

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(2)

可分离变量的常微分方程求解:形如y′=f1(x)f2(y),求解该方程时,采用可分离变量的方式。

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(3)

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(4)

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(5)

一阶线性微分方程:如y′ P(x)y=Q(x),即可用一阶线性微分方程的公式:y=e^(-∫P(x)dx) [∫Q(x)(e^∫1P(x)dx)dx C].遇到这种题目时,一定要写对公式,注意一个积分符号搭配一个dx。

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(6)

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(7)

二阶微分方程求解:形如y′′ py′ qy=0

[特征方程法]r^2 pr q=0

对于此一元二次方程

1.当有2个不同的实根r1,r2, y=C1e^(r1x) C2e^(r2x)

2.当有2个相同的实根r1=r2=r, y=(C1 C2x)e^rx

3.当有2个虚根r1=α βi,r2=α-βi, y=e^αx (C1cosβx C2sinβx)

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(8)

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(9)

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(10)

浙江专升本微分方程笔记(广东专插本高等数学第五章常微分方程)(11)

,