原题如下：
这是一个关于复数k的连乘。
首先，分析一下k。k是一个复数，是方程x^8-1=0的单位根。表达式中，k的幂次：k,k^2,k^3,...,k^7均位于单位圆上，间隔45°均匀分布：
马上可以知道，当m n=8时，k^m与k^n关于实轴x轴对称，互为共轭。也就是：
这是一个重大发现！想想高斯小朋友计算1 2 3 ... 100=？的清奇思路，首尾相加等于常数101，这里首尾相乘会出现常数1，心潮澎湃的你马上就知道解题的第一步应该怎么搞了：
令
中括号里面复数虚部抵消，这样每一项都是实数，然而，问题似乎并没有变简单，还是七个式子连乘，怎么破？
这条路看起来时走不通了。换个思路。
分析一下表达式。表达式看起来像什么？什么式子中会出现连乘的表达呢？因式分解！！！如果能找到被因式分解的原表达式，而这个表达式计算起来又非常简单，那这个问题也就解决了。
不妨一试。
注意到k是x^8-1=0的根，这是一个8次方程，在复数域上应该有8个根。显然
所以k,k^2,k^3,...,k^7都是方程x^8-1=0的根。别忘了还有一个x=1(有人问，x=-1显然也是根啊，怎么没有？怎么没有，在这儿：k^4=-1)
回忆一元二次方程基于根的因式分解，类似地，有下面的恒等式：
左边，一个极其简单的表达式，右边，一个非常复杂的连乘形式。（插个题外话，上面的因式分解很有内涵，Kummer据此创建了理想数理论，直接证明了费马大定理x^n y^n=z^n无正整数解,对一大批n都成立)。
和原题比较一下，胜利在望~
令x=-3，得
右边，提取8个（-1）以去掉负号，立得
柳暗花明又一村。
老美的数学竞赛还是蛮简单的，加上原题其实是选择题，选项本身就是一种提示，能让你从第一个思路的死胡同里飞出来。难怪听朋友说，他参加州竞赛，拿前三的基本都是亚裔黄种人。
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