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全等三角形判定的实际应用
1、如图，公园里有一条“Z字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB，BC，CD三段路旁各有一个小石凳E，M，F，且BE＝CF，M在BC的中点.试判断三个石凳E，M，F是否恰好在一条直线上？为什么？
【答案与解析】三个小石凳在一条直线上证明：
∵AB平行CD（已知）
∴∠B＝∠C（两直线平行，内错角相等）
∵M在BC的中点（已知）
∴BM＝CM（中点定义）
在△BME和△CMF中
∴△BME≌△CMF（SAS）
∴∠EMB＝∠FMC（全等三角形的对应角相等）
∴∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°（等式的性质）
∴E，M，F在同一直线上
【总结升华】对于实际应用问题，首先要能将它化成数学模型，再根据数学知识去解决. 由已知易证△BME≌△CMF，可得∠EMB＝∠FMC，再由∠EMF＝∠EMB＋∠BMF＝∠FMC＋∠BMF＝∠BMC＝180°得到E，M，F在同一直线上.
三角形的稳定性
2. 如图是一种流行的衣帽架，它是用木条（四长四短）构成的几个连续的菱形（四条边都相等），每一个顶点处都有一个挂钩（连在轴上），不仅美观，而且使用，你知道它能收缩的原因和固定方法吗？
【答案与解析】
解：这种衣帽架能收缩是利用四边形的不稳定性，可以根据需要改变挂钩间的距离。它的固定方法是：任选两个不在同一木条上的顶点固定就行了。
【总结升华】要使物体具有稳定性，应做成三角形，否则做成四边形、五边形等等.
线段垂直平分线性质定理
3、（2015春•荣县校级月考）如图，△ABC中，∠BAC=135°，点P、Q在边BC上，若MP和QN分别垂直平分AB和AC，并且AP=8，AQ=6，求BC的长．
【思路点拨】由MP和QN分别垂直平分AB和AC，根据线段垂直平分线的性质，可得PA=PB，QA=QC，继而可得∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=90°，再利用勾股定理计算出PQ的长，进而可求得答案．
【答案与解析】
解：∵MP和QN分别垂直平分AB和AC，
∴PA=PB，QA=QC，
∴∠BAP=∠B，∠CAQ=∠C，
∵∠BAC=135°，
∴∠BAP ∠CAQ=∠B ∠C=180°﹣∠BAC=45°，
∴∠PAQ=∠BAC﹣（∠BAP ∠CAQ）=90°．
∵AP=8，AQ=6，
∴PQ=
=10，
∴BC=20．
【总结升华】此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．关键是正确计算出∠PAQ的度数，掌握勾股定理．
角平分线的性质定理应用
4、如图，P为△ABC的外角平分线上任一点.求证：PB＋PC≥AB＋AC.
【答案与解析】
证明：①当点P与点A不重合时，在BA延长线上取一点D，使AD＝AC，连结PD.
∵P为△ABC的外角平分线上一点，∴∠1＝∠2
∵在△PAD和△PAC中
∴△PAD≌△PAC（SAS），∴PD＝PC
∵在△PBD中，PB＋PD＞BD，BD＝AB＋AD
∴PB＋PC＞AB＋AC.
②当点P与点A重合时，PB＋PC＝AB＋AC.
综上，PB＋PC≥AB＋AC.
【总结升华】本题利用角平分线的性质，在角两边取相同的线段，通过（SAS）构造全等三角形，从而把分散的线段集中到同一个三角形中.
1.【变式】（2015春•龙岗区期末）小强为了测量一幢高楼高AB，在旗杆CD与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线PC与地面夹角∠DPC=36°，测楼顶A视线PA与地面夹角∠APB=54°，量得P到楼底距离PB与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为DB=36米，小强计算出了楼高，楼高AB是多少米？
2.【变式】如图，我们知道要使四边形木架不变形，至少要钉一根木条．那么要使五边形木架不变形，至少要钉几根木条?使七边形木架不变形，至少要钉几根木条?使n边形木架不变形．又至少要钉多少根木条?
3.【变式】如图所示，DE是线段AB的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ）
A．ED=CD B．∠DAC=∠B C．∠C＞2∠B D．∠B ∠ADE=90°
4.【变式】如图，DC∥AB，∠BAD和∠ADC的平分线相交于E，过E的直线分别交DC、AB于C、B两点. 求证：AD＝AB＋DC.
1.【答案与解析】
解：∵∠CPD=36°，∠APB=54°，∠CDP=∠ABP=90°，
∴∠DCP=∠APB=54°，
在△CPD和△PAB中
∵
，
∴△CPD≌△PAB（ASA），
∴DP=AB，
∵DB=36，PB=10，
∴AB=36﹣10=26（m），
答：楼高AB是26米．
【总结升华】此题主要考查了全等三角形的应用，根据题意得出△CPD≌△PAB是解题关键．
2.【答案】要使五边形木架不变形，至少要钉2根木条；使七边形木架不变形，至少要钉4根木条；使n边形木架不变形，至少要钉(n-3)根木条．
3.【答案】D.
4.【答案】
证明：在线段AD上取AF＝AB，连接EF，
∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠1＝∠2，
∵AF＝AB AE＝AE，∴△ABE≌△AFE，
∴∠B＝∠AFE，
由CD∥AB又可得∠C＋∠B＝180°，
∴∠AFE＋∠C＝180°，
又∵∠DFE＋∠AFE＝180°，
∴∠C＝∠DFE，
∵DE是∠ADC的平分线，
∴∠3＝∠4，
又∵DE＝DE，
∴△CDE≌△FDE，
∴DF＝DC，
∵AD＝DF＋AF，
∴AD＝AB＋DC．
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