普通人熬夜是刷手机、刷小说、刷短视频，而高斯熬夜后直接解决了困扰阿基米德的一个问题。高斯解决的问题是用尺规作图法画出正十七边形，同样给我们一晚上的时间，很多人也画不出来，这可能就是我们与天才的距离吧。
高斯
高斯表示，正十七边形没什么难的，也就困扰了数学家们2000年，困扰他一个晚上而已。这位传奇般的天才数学家，用他的智慧将数学推向了一个发展巅峰，谁能想到，他解决这个问题的时候，还只是一个19岁的少年。那么高斯是如何用一个晚上解决这个千年难题的？
正十七边形数学的几何学上有这样一个类群，叫正多边形。我们比较熟知的正三角形，又叫等边三角形，正四方形，又名正方形，从正五边形开始，后面的正多边形就很难在生活中看到了。不过对数学家们来说，越到后面越是刺激。
各类正多边形
理论上，用尺规作图的方法可以得到很多图形。所谓尺规作图就是只用直尺和圆规将图形画出来，并且这个直尺上不能有任何刻度，圆规上也不能有任何度数表示，作图者需要熟练掌握三角函数、中位线定理等数学知识。比如我们要画一个正三角形，这是最基础的正多边形，每条边都一样长，夹角60度。
首先我们画出一条线段，不用在意长度，反正直尺没有刻度，这条线段的长度会成为之后正三角形的边长。然后使用圆规，先将其尖端固定在线段的一个端点，以这条线段为半径画一个圆，接着转移到另一个端点，和刚才一样，再画一个圆。这两个圆会相交于两个点，这个时候任选一个点，将其与所画线段的两个端点相连，就能得到一个正三角形。
正多边形有个求内角和的公式，为（n－2)×180°，n是正多边形的边数。因为每个内角的度数是一样的，因此可以用这个公式计算出每个内角的度数。所以正十七边形，有17条相同长度的边，内角和2700°，每个内角为158.8235294117647°。
乍一看，我们会觉得永远也画不出来，可是根据正N边形的特点，是绝对可以画出来的，只不过要烧掉脑细胞而已。阿基米德的脑细胞够多吧，他一样也没有画出来。并且自阿基米德以后的2000年时间里，都没有一个人画出来，渐渐地，尺规画正十七边形成为了千年难题。
但是在1796年的某一天，哥廷根大学19岁的学生高斯，用一个晚上的燃烧脑细胞，将这个困扰人们2000年的难题解决了。
天才少年高斯是德国数学家，在他那个年代，数学、物理、化学这些学科都是贵族才去研究的领域。而高斯的家庭很贫寒，父母都是平民，母亲是一个没有任何教育背景的农妇，父亲是一个泥瓦匠，偶尔搞点工程，也就算是那个年代的包工头吧。
邮票上的高斯
高斯的家里没有浓厚的学习氛围，但高斯却天赋异禀。高斯的父亲有的时候跑工程，因为没钱聘请算账的人，因此只能自己计算，小高斯3岁的时候，就会帮父亲算账。如果是有钱的家庭，这个时候早早就把孩子送进学校学习了，可高斯爸爸的出身限制了眼界，他看见高斯这样，欣慰以后儿子可以接替他的工程。
高斯虽然早早展现了自己的天赋，可依然没有得到良好的教育。后来高斯到了上学的年纪，他的爸爸本着以后好找工作的信念送他去念书。
很多人上小学的时候都做过这样一道数学题，从1开始加到100，计算总和。这个时候老师会教大家使用高斯法解答问题，采取头尾相加的方法，用1 100，2 99这样的办法以此类推，一共50对，因此得到结果5050。大家会用，但是却很少有人知道这是高斯9岁的时候，想到的办法。
他的老师感到震惊，察觉到这是一个百年难遇的天才，于是他去家访，希望父母能重视高斯的教育。然而高斯的老爸还没有意识到儿子是一个天才，他只想让高斯以后找个工作糊口就行。
还好老师们没有使高斯的才能被湮没，在他14岁的时候，高斯开始接受系统教育，在18岁的时候进入哥廷根大学学习。
哥廷根大学
一道家庭作业题高斯的大学老师每天都会给高斯布置三道家庭作业题，这天老师有事情，没来得及找好高斯的家庭作业，于是随意想了两道题再从自己桌子上随手抓了一道题，凑满了三道给了高斯。高斯以为这个和平时的作业一样，就拿着回住处去了。他老师没发现，自己将如何用尺规画正十七边形这道千年难题，拿给了19岁的高斯当家庭作业。
高斯在完成作业的时候发现，老师布置的最后一道题怎么感觉比平日里难很多，他以为老师只想考考他，于是一直坐在桌子前面思考如何解答问题。
题目是让用尺规画出正十七边形，高斯并不知道这道题难倒过阿基米德，还以为是老师能解开的题目，于是不服输的他用了一个晚上，终于将正十七边形的画法推导出来。
高斯先通过三等分角判定方程，建立了基本等价方程式，初步获得解决方案后，他又建立了等价的一元二次方程， 最终只需要求得cos（2π/17）就可以得到正十七边形的尺规作图法。
高斯的另一成就——高斯定理
用高斯的方法，主要是将 2π/17这个非特殊角度，通过转换，用特殊角度的组合表示。其次就是对于三角函数的恒等变换，这一步工作看似相当基础，实则关系重大，高斯正是通过这一系列繁杂的恒等变换，层层推进证明出正十七边形的可作图。这是高斯一个晚上完成的结果，当它第二天顶着黑眼圈去上课交作业时，把老师惊呆了，这个2000年无人解答的问题，到高斯手里一个晚上就出来了。
值得注意的是，高斯并没有直接画圆，他只证明了正十七边形可以用尺规作图法。这就好比，建造一座大楼，高斯是设计师，但他不参与修建过程。后世在高斯证明的引导下，画出了正十七边形。
步骤如下：先画一个圆O，作两垂直的直径AB、CD。 然后在OA上作一个E点，要使O点到E点的距离是半径的四分之一，再将C点和E点连接起来。将∠CEB平分线得到平分线EF再将∠FEB平分线，平分线为EG，与CO交于P点。作∠GEH，度数45°，并且交CD于Q点。
以CQ为直径作圆，与OB交于K。再以P为圆心，PK为半径，画一个圆，与CD交于L与M两点。分别过M、L作CD的垂线，与圆O于N与R。两点作弧NR的中点S，以SN为半径将圆O分成17等份。
数学王子正十七边形让高斯名声大振，在其24岁的时候，发表了著作《算术研究》，成为当时欧洲的著名数学家。因为实在是太年轻了，大家称呼他为“数学王子”。
高斯通过研究发现，并不是每个正多边形都可以用尺规作图法，边数必须是2的非负整数次方和不同的费马素数的积，费马素数有5个，分别是3、5、17、257和65537。运用公式来解释就是：
一个正N边形，N=2ax3、2ax5、2ax17、2ax257、2ax65537，其中a是非负整数。这就说明边数目是其他素数的，不能通过尺规作图法画出来。正十七边形是20x17=17，因此可以用尺规作图画出。
早在高斯17岁的时候，他就发现了最小二乘法，这是一种概率统计法，在处理足够多的数据后，高斯用在了曲线与曲面的计算上，并最终得到了正态分布。
有了这个方法，高斯的研究领域开始拓展到天文学，很多人并不知道，谷神星的运行轨迹，是高斯计算出来的。
他还参与绘制了当时汉诺威公国的土地测绘工作，利用他的最小二乘法以及线性回归方程，提高了测量数据的精确度。高斯在测量工作中，发明了日光反射仪，经过他的改进，这便是现代测绘上最常见的镜式六分仪。
1840年，高斯阅读了俄国数学家罗巴切夫斯基用德语书写的《平行线理论的几何研究》，高斯很赞赏这位数学家，为了能读懂他以往的著作，高斯在63岁高龄的时候，学习掌握俄语。他还建议自己工作的哥廷根大学聘请这位高人来任教。高斯、欧雅诺、罗巴切夫斯基三人，被后世称为“微分几何的始祖”。而就在他学习掌握俄语的同时，他还和韦伯画出了第一张地球的磁场图。
高斯是一个天才，他在多个领域都有建树，但是因为缺少理论支持，很多并没有以论文的形式发表，只是通过笔记将他的研究结果保留下来。他经常在看到学术期刊上的论文和同事们讨论，说这个理论他之前也有想到，只不过缺少时间去验证。一些人因此抨击他，说他吹牛撒谎、爱出风头。高斯逝世后，人们发现了他的20本笔记，上面记录的研究的确在这些期刊之前。
高斯与他的部分成就
数学的意义很多人都苦于学习数学，认为这个学科不仅难而且枯燥。并且从某种程度上讲，数学并不是自然科学，它无法通过实验来证明，都是通过推导，因此在学科划分上，它属于形式科学。数学却成为了自然科学的基础，是研究自然科学必不可少的工具与手段。
可以说数学在生活中无处不在，除了人们日常所用的加减乘除法，建筑、、运输甚至医疗行业都有数学的身影。更有甚者说，学好了数学就可以玩转股市。不管怎样数学与我们的关系比人们想象的还要近，无形之中一些什么数学知识都没有的人，偶然在生活中参与了数学的运算。
数学学科中专门有一个分支，叫做数学美，意思就是数学与我们所说的美学也有密切的关系，比如黄金分割线、黄金比例等词汇。许多人都认为天文学与物理学息息相关，却忽略了数学的逻辑运用。高斯是数学家，同时他也是一名天文学家。
许多人都认为我们用不到那么多数学理论，比如微积分，现实中很少有地方用到微积分，大家会觉得学习它没有任何意义。其实学习数学的本质，不是死记硬背一些什么定律，而是学习一种多元的思维方式，让你能从不同的角度去看待世界。解答出微积分，只不过是多元思维方式的一种表现罢了。
不可能人人都是高斯，一个晚上的时间就能解决2000年前的难题。但我们可以学习高斯，时刻对知识充满兴趣与尊重。
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