女士们，先生们，老少爷们儿们！在下张大少。
在下的前文《刺子绣（Sashiko）：日本乡村的编织几何学》描述了当代刺子绣图案的几何特征，如平行线、网格和圆弧[13]。本文进行更深入的探讨。
刺子绣本质上是二维的，是一种在织物上缝线的艺术。日本的审美传统也和二维颇有渊源。在著名的江户诗人松尾芭蕉眼里，纵轴代表了同过去传统的联系，而横轴则将作品置于“当代、城市平民生活和新社会秩序”的日常世界中[16]。因此，纵轴是与过去文化的真诚之心的牢不可破的联系，而横轴则是对这些传统的挑战，提供了一个新的当代视角[4]。当代刺子绣正是这两个层面的结合。
刺子绣
刺子绣最初是一种实用、简单的平针绣，这个名字翻译为“小刺针”，指的是把针刺穿布料的行为。刺子绣起源于实用而非装饰性，诞生于体现“功能性之美”的“日常生活智慧”[10]。刺子绣缝纫的简单而重复的技术要求缝纫者心无旁骛地专注于手头的工作。
世界各地都有一种传统——把碎布拼接在一起，形成一种耐用的织物，这是一种抢救稀缺资源的手段。褴褛的衣服被收集并储存在旧物品中，而碎布则从更富裕的江户、大阪和京都地区出售旧衣服的商人那里购买[20]。这种用平针绣缝补和绗缝的方法也被称为boro，近年来在慢时尚运动中，它作为一种可见的修补形式变得越来越有名[5]。传统的例子见图1。
图1：Boro和服，Amuse博物馆常设展览。
刺子绣的发展轨迹就像全世界的缝纫艺术一样。正如刺绣研究者Lanto Synge所说：“最早的针线活具有朴素、实用的性质，用像头发这样结实的纤维材料把兽皮缝合起来制作衣服。而刺绣则是用来加固容易磨损的部分。从这一基本需要出发，逐渐出现了华美的装饰艺术。”[19]
传统的刺子绣有三种主要类型；Hishizashi、Koginzashi和shōnai sashiko。津轻小金子和南部菱子的密集绗缝针法都起源于日本北部东北地区的青森县，那里天气寒冷，需要厚实、坚固的织物来制作衣服。在shōnai形式的hitomezashi（意为“一针刺子绣”）中，图案是通过使用相对较大的针脚来缝制的，其长度都是一样的。这些样式请见图2。
图2：传统的刺子绣：(a)Nambu hishizashi，Amuse博物馆收藏，(b)Antique Tsugaru koginzashi，在一块shōnai hitomezashi后面，Yoshiura收藏。
当代刺子绣作品在单层面料上使用间隔连续的针迹，在缝合之前预先打印或使用模板标记。这种形式的刺子绣已经在全球普及，例如见[3]。图3中的hitomezashi工具包指南[9]演示了这种技法，在处理边界之后，垂直(1)、水平(2)和对角(3)线使用统一的针脚按顺序完成。
图3：现代商业生产的hitomezashi套件[9]，显示了预先标有针脚位置的织物，以及在转向下一个方向之前在特定方向上完成所有针脚的指示。
刺子绣与日本文化
等级制度是前现代社会的一个重要元素，日本也不例外。刺子绣的故事也是一个关于自我价值的故事，关于一个人如何展示自己身份的问题。衣服，无论是功能性还是装饰性，都说明了穿着者的地位和品位。刺子绣也是对人类对美的渴望的叙述，在最贫乏的空间中对装饰的渴望[8]。
虽然平针绣在日本有着悠久的历史（就像在世界其他地方一样），但独特的刺子绣图案是在江户时代（1603-1868）发展起来的。这一时期见证了商人中产阶级的崛起，政府发布了一系列惩罚性越来越强的节制法律和法规，限制私人在服装和其他个人物品上的支出。其目的是通过遏制炫耀性消费来调节社会阶层之间的差异，特别是当它造成社会阶层之间的界限模糊时[12]。
这些法律为刺子绣技术的发展提供了一个重要的背景，因为在当时，丝绸和棉花都是禁止平民使用的[17]。东北地区的人们开发了他们自己的布料，使用的是通常用靛蓝染色的麻布，这种麻布是粗糙的，具有开放式的编织方式。可以说，表面的刺子绣针法的发展是为了软化所使用的劣质布料，而绗缝则允许在各层之间添加来自植物物质或旧抹布的絮状物以进一步保暖。某些职业对服装造成了不同类型的磨损，影响了图案的布置；农民和工人肩负着沉重的负荷，而消防员则需要厚厚的外套来保护他们免受火焰的伤害。补丁最初是用服装本身的线来完成的，但随着未染色的白棉线的出现，它开始被用来修补服装。虽然白色的线随着使用而褪色，但每一层的缝合都允许在缝合中形成潜在的图案。平针绣适合于停停走走的工作，因此，即使是节省了一小段线的平民也可以使用这种有图案的缝合方式。
随着功能性刺子绣缝纫的实践变得越来越普遍，装饰性图案得到了发展，不仅被农民阶级使用，而且开始被中下层阶级用作家庭刺绣的一种更具装饰性的形式。家用洗衣布和手巾开始用刺子绣图案缝制。刺子绣发展成一种装饰性缝纫，使用多种图案来装饰衣服和餐巾纸等日常用品。这些图案反映了日本社会的本质：农业和渔业、季节和日本的自然景观。传统上，现在作为正念运动的一部分，刺子绣缝纫可以是一种对健康的冥想体验，每一针都是一个深思熟虑的想法或小小的祈祷[8]。
刺子绣中的数学
图2和图4所示的作品中有明显的装饰性几何图案，但这只是刺子绣的表面数学。我们将把注意力限制在方形网格上的hitomezashi上，即使在这种封闭的环境中，我们也能找到丰富的内容。
图4：本次研讨会将制作的hitomezashi样品。(a)在已经到位的垂直线上加上水平线，显示出图案；(b)作品底部的山形（yamagata）和顶部的柿子花（kakinohanazashi）的变体。
计算
考虑一下图4(A)所示的平针绣。一条线上的第一针只有两种方法，要么在面料的正面缝制，要么在面料的反面缝制。因此，根据行针的性质，没有选择如何在该行中放置后续的针脚。每条线路只能处于两种(二进制)状态中的一种。因此，如果m条垂直线和n条水平线迹组成一块hitomezashi，那么它的形成方式就有2^(m n)之多。然而，其中许多“设计”可能无法辨认出是传统的刺子绣！
二元性
二元性是现代数学中一个深刻而普遍的概念，尽管它的实现可能因环境不同而大不相同。在刺绣中，二元性表现在由缝制织物两边的针脚形成的互补图案中。在图5中，可以看到十字图案（类似于汉字中的数字十）有一个正方形和人字形阶梯线的图案作为其互补。
图5:二元性:(a)作品一侧的“十”字形(jizashi)，以及(b)反面的正方形和阶梯线的双重设计。
对称
Hitomezashi致力于方形网格是一种受约束的纤维艺术形式。与十字绣不同，在十字绣中，组成十字绣的两针中的一针必然位于另一针之上，因此如果在针法层面进行检查，对称性就会被破坏，而在hitomezashi中，针脚平放在织物上。因此，这种刺绣形式有可能为之前在其他纤维艺术中研究过的玫瑰花结、饰带和墙纸对称组提供一种美丽、更完美的实现[7]。在图4(b)中，我们可以看到拼接有一个垂直的反射对称轴，而图2(b)中的设计有更多的对称性(事实上壁纸组cmm的所有对称性)。90°旋转的设计也是可能的。
循环和四角系统
当一片hitomezashi没有整体墙纸结构时，如图6所示，可以有嵌套的线圈(四角系统)和从一个边缘到另一个边缘穿过织物的阶梯缝线。这种结构见于统计力学的全填充环模型，与交替符号矩阵、逾渗和六顶点模型有关[6]。它们也与特鲁谢密铺（Truchet tilings）[18]有关；它们的分类属于列举组合学领域。
值得注意的是，hitomezashi的环或四角系统(即由边相邻格子正方形的并集形成的对象)与斐波那契有关。所谓的斐波那契雪花(不具有真正雪花的六重对称结构，但与更知名的科赫雪花有共同的分形特征)，是通过使用斐波纳契字[1，2，11]在正方形晶格上生成一条转弯路径而产生的。在图7的斐波那契雪花中，我们看到了正方形的hitomezashi图案、十字、柿子花的轮廓，以及另一种可以使用叠加的水平和垂直平针绣来实现的设计。斐波那契雪花轮廓上的针数是一个奇数斐波纳契数(1，3，5，13)乘以4。
图6: Hitomezashi围裙细节，Amuse 博物馆收藏。
图7：0(正方形),1(jūjizashi)和2阶的斐波那契雪花[1]，以及右边的泛化雪花[11]。虚线表示这些结构在使用hitomezashi的平针绣缝制时是如何产生嵌套的方形的；右边的图是传统的柿子花设计。
在传统的刺子绣中可以找到更多关于数学的内容，不仅是hitomezashi，还有其他受限的变体，如kogin和hishizashi。事实上，从他们自己的数学背景来看，研讨会的参与者（和读者）可能会发现其他数学联系。我们打算在日后更深入地探讨这些内容。
制作Kogin书签
我们可以制作四种传统kogin图案——蜻蜓、蝴蝶、葫芦和kikurako(盘腿坐在地板上)，如图8所示。仅在水平方向上工作，缝合将在1、3和5的缝合长度内完成，以在一个小的矩形书签上重新创建模板。
图8：书签的Kogin图案，代表自然元素，用奇数长度的横针缝制而成。左起：葫芦、蝴蝶、蜻蜓、盘腿。
参考文献
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[2] A. Blondin Massé, S. Brlek and S. Labbé. “Combinatorial Aspects of Escher Tilings.” DMTCS Proceedings, 22nd International Conference of Formal Power Series and Algebraic Combinatorics, 2010.
[3] S. Briscoe. The Ultimate Sashiko Sourcebook. F&W Media International Ltd, UK, 2004.
[4] G. Caldwell. “Non-Japanese Haiku Today.” Axon: Creative Explorations, 9.1, 2019.
https://www.axonjournal.com.au/issue-vol-9-no-1-may-2019/non-japanese-haiku-today
[5] W. Cardon. Visible Mending: Artful Stitchery to Repair and Refresh Your Favorite Things. Martingale, Bothell, WA, 2018.
[6] J. de Gier. “Fully Packed Loop Models on Finite Geometries.” In Polygons, Polyominoes and Polycubes. Springer, Dordrecht, 2009, pp. 317-346.
[7] S. Goldstine. “A Survey of Symmetry Samplers.” Bridges Conference Proceedings, Waterloo, July 27-31, 2017, pp.103-110. https://archive.bridgesmathart.org/2017/bridges2017-103.html
[8] C. Hayes. “Sashiko Needlework Reborn: From Functional Technology to Decorative Art”. Japanese Studies, 39:2, 2019, pp. 263-280. https://doi.org/10.1080/10371397.2019.1634978
[9] “Hitozashi Coaster Kit” (Hitomezashi no kōsutaa), Olympus Sashiko Kit (Orimupasu Sashiko Kitto), Ibaraki City: Yuzawaya.
[10] Ōtsuchi Fukkō Sashiko Purojekuto. “About Sashiko” (sashiko ni tsuite), n.d.
https://sashiko.jp/about/sashiko
[11] J. Ramírez, G.N. Rubiano and R. De Castro. “A Generalization of the Fibonacci Word Fractal and the Fibonacci Snowflake.” Theoretical Computer Science, 528, 2014, pp.40-56.
[12] G. Riello & U. Rublack. (eds.) The Right to Dress: Sumptuary Laws in a Global Perspective, c. 1200-1800. Cambridge University Press: Cambridge, 2019.
[13] B. Setsu Pickett. “Sashiko: The Stitched Geometry of Rural Japan.” Bridges Conference
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http://archive.bridgesmathart.org/2006/bridges2006-211.html
[14] B. Setsu Pickett. “Counterweights and Plovers.” Exhibited at Bridges Conference, London, UK, 4-8 August, 2006. Available to view at http://www.bridgesmathart.org/art-exhibits/bridges06/setsu.html
[15] B. Setsu Pickett. “Design Source: The Edges of Fiber Geometry.” Textile Society of America Symposium Proceedings, 2006, pp 220-224.
[16] H. Shirane. Traces of Dreams: Landscape, Cultural Memory and the Poetry of Basho. Stanford: Stanford University Press, 1998.
[17] D. Shively. “Sumptuary Regulation and Status in Early Tokugawa Japan.” Harvard Journal of Asiatic Studies, 25, 1964 –65, pp. 123-164.
[18] C. S. Smith. “The Tiling Patterns of Sebastian Truchet and the Topology of a Strucural Hierarchy.” Leonardo, 20, 1987, pp.373-385.
[19] L. Synge. The Art of Embroidery: History of Style and Technique. The Royal School of Needlework: Antique Collectors’ Club: Woodbridge, England, 1988.
[20] Y. I. Wada. “Boro no Bi: Beauty in Humility — Repaired Cotton Rags of Old Japan.” Proceedings of the 9th Biennial Symposium of the Textile Society of American, Oakland, California 7-9 October, 2004.
[21] Carol Hayes and Katherine A. Seaton. A Two-Dimensional Introduction to Sashiko
青山不改，绿水长流，在下告退。
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