这里是一则小广告:

本人是一位头条萌新,刚刚打算开始在头条进行创作。所以还需要各位读者朋友的支持,如果您觉得我的文章写得还不错的话就动一下您的手指,关注一下作者吧~!感激不尽!

这里是作者的头条主页,欢迎各位朋友光临我的主页[数学及自然科学]:

https://www.toutiao.com/c/user/3280536900468942/#mid=1655335457676296

这是作者的知乎主页[zdr0]:

https://www.zhihu.com/people/sai-27-16

各位朋友可以关注一下哦~

这是作者的知乎专栏[数学及自然科学]:

https://zhuanlan.zhihu.com/c_174847513

我的专栏里不仅有干货还有一些有趣的科普文,各位朋友也可以关注一下~

记得点赞哦~

文章中如果有错误的话还请各位大佬多多斧正,感谢!


忙里偷闲,写一篇小短文,讨论两个简单的问题。

这是两个老生常谈的问题,证明的方法有很多。这里,我打算提供一种纯几何的“证明”方式。这种方法只需要初中数学知识就可以完成“证明”。

我们来看图片1:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(1)

图片1

在图片1中我们可以清楚的看到,由于四分之一圆的半径是 1 所以,竖直的橙色虚线的长度的是:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(2)

竖直的红色虚线的长度是:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(3)

则:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(4)

式 (3) 表示的是当角度从 α 转动一个很小的角度 dα 到 α dα 时,正弦值的增量。这个增量显然是长度d 现在我们需要来求解一下这个长度 d,为了求解长度 d,我们将图片1中的绿色三角形的部分放大:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(5)

图片2

图片2就是放大之后的图片。回忆弧长公式:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(6)

其中,l代表弧长,α 表示该段弧所对应的圆心角,R 是圆的半径。所以,在图片1(图片2)中:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(7)

所以,这段弧长也是十分微小的。这就意味着,当我们“无限”放大这一小段弧长时,这段弧长可以近似为一条直线(见图片2)。

实际上不需要去放大这一段弧长,因为它已经足够小了,所以它本身就可以近似为一条直线。放大的原因是为了好理解。

现在,连结红色点和橙色点,如图片3中的青色线所示:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(8)

图片3

图片3中的青线是圆的一条割线,可以想象,当红色点充分接近橙色点时(即转动的角度 dα 充分小时),这条青色的割线将趋近于橙色点处的圆的切线。而我们知道,连结圆心与切点的半径是垂直于切线的。所以,在转动的角度 dα 充分小时,可近似认为图片1中的橙色实线半径垂直于这条青色的割线。不仅如此,在转动的角度 dα 充分小时,这这条青色的割线还近似于弧 l。

那么在图片1中就会出现两个相似三角形,我将它们分别用橙色和青色进行重新进行标识,如图片4所示:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(9)

图片4

则由相似性可知,图片4中的青色三角形在红色点处的角度是 α :

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(10)

图片5

在图片5的青色三角形中,斜边长近似为弧 l 的长度,即 dα 所以有:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(11)

所以:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(12)

即:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(13)

再来说一说第二个问题。

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(14)

图片6

在图片6中,绿色的长度 s 表示的是当橙色的半径从角度 α 转动角度 dα 到红色半径时,余弦值的增量。只不过这个增量是负的,即:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(15)

而求解这个长度s,我们依然可以使用之前的所述的近似和青色的小三角形。由于长度就是青色的小三角形的短直角边,所以:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(16)

所以:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(17)

即:

cossinx导数(为什么sinx的导数是cos)(18)


,