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忙里偷闲，写一篇小短文，讨论两个简单的问题。
- 为什么 sin(x) 的导数是 cos(x) ?
- 为什么 cos(x) 的导数是 sin(x) ?
这是两个老生常谈的问题，证明的方法有很多。这里，我打算提供一种纯几何的“证明”方式。这种方法只需要初中数学知识就可以完成“证明”。
我们来看图片1：
图片1
在图片1中我们可以清楚的看到，由于四分之一圆的半径是 1 所以，竖直的橙色虚线的长度的是：
竖直的红色虚线的长度是：
则：
式 (3) 表示的是当角度从 α 转动一个很小的角度 dα 到 α dα 时，正弦值的增量。这个增量显然是长度d 现在我们需要来求解一下这个长度 d，为了求解长度 d，我们将图片1中的绿色三角形的部分放大：
图片2
图片2就是放大之后的图片。回忆弧长公式：
其中，l代表弧长，α 表示该段弧所对应的圆心角，R 是圆的半径。所以，在图片1（图片2）中：
所以，这段弧长也是十分微小的。这就意味着，当我们“无限”放大这一小段弧长时，这段弧长可以近似为一条直线（见图片2）。
实际上不需要去放大这一段弧长，因为它已经足够小了，所以它本身就可以近似为一条直线。放大的原因是为了好理解。
现在，连结红色点和橙色点，如图片3中的青色线所示：
图片3
图片3中的青线是圆的一条割线，可以想象，当红色点充分接近橙色点时（即转动的角度 dα 充分小时），这条青色的割线将趋近于橙色点处的圆的切线。而我们知道，连结圆心与切点的半径是垂直于切线的。所以，在转动的角度 dα 充分小时，可近似认为图片1中的橙色实线半径垂直于这条青色的割线。不仅如此，在转动的角度 dα 充分小时，这这条青色的割线还近似于弧 l。
那么在图片1中就会出现两个相似三角形，我将它们分别用橙色和青色进行重新进行标识，如图片4所示：
图片4
则由相似性可知，图片4中的青色三角形在红色点处的角度是 α ：
图片5
在图片5的青色三角形中，斜边长近似为弧 l 的长度，即 dα 所以有：
所以：
即：
再来说一说第二个问题。
图片6
在图片6中，绿色的长度 s 表示的是当橙色的半径从角度 α 转动角度 dα 到红色半径时，余弦值的增量。只不过这个增量是负的，即：
而求解这个长度s，我们依然可以使用之前的所述的近似和青色的小三角形。由于长度就是青色的小三角形的短直角边，所以：
所以：
即：
,
