球、晶体结构、水立方能否与多面体建立联系？圆的月亮，平的湖面，造型奇特的建筑，放大缩小的电视画面……我们生活在这样的几何时期，即周围的一切都是几何学.图形有具体的，有抽象的；有平面的，也有立体的。
下图是1967年加拿大蒙特利尔世界博览会美国馆设计的网格球顶，设计者是美国著名建筑设计师富勒。
富勒的洞察力在于他看到了传统的多面体、球和建筑之间的联系，这一联系的具体化，便成了网格球顶，即把正二十面体表面的正三角形分成多个相同的正三角形，再将这些相同的正三角形内接于球体内。
人类对多面体的认识有悠久的历史。古希腊著名哲学家柏拉图研究多面体，称作柏拉图体，又称正多面体，每面均由全等的正多边形组成，并且要求从每个顶点出发的棱的数目相等。虽然多面体的家族非常庞大，但正多面体却只有五种，在他的《蒂迈欧篇》一书中指出并讨论只有如下的五种正多面体：
阿基米德多面体，是指由两种或两种以上的正多边形面组成的多面体，要求每个顶点的组态均一致，且不包含柱体组（Prism） 和反柱体族阿基米德发现了不同表面的多面体，阿基米德多面体，又称半正多面体，它共有十三种。阿基米德多面体均由正多面体演变而来，根据其形成的方法，主要可以分成四大类：截半多面体、截顶多面体、斜方截半多面体、扭棱多面体。
世界上有5种正多面体使人们作出某种玄学性质的联想，德国天文学家开普勒在他1596年出版的名著《宇宙的奥秘》中用正多面体的外接球与内切球的半径来刻画太阳系各行星之间的距离。一个多面体可被"吹成"一个足球.
对于多面体，人们最为熟悉且在教与学中最常提到的就是欧拉公式。
超人的毅力、非凡的才能、过人的数学直觉，成就了历史上最多产的伟大数学家——欧拉。通过《从欧拉的数学直觉谈起》这本书，我们可以从欧拉的教学直觉，以及直觉在科学发展中所起的作用得到一些宝贵的启示。
给出两个视图，要求画出第三个视图或确定立方块的块数，这样的问题答案常常不唯一.解题的关键是：俯视图就是立体图形最底层对应的平面图形，主视图中每列小正方形的个数就是俯视图中每列数中最大的数值。
欧拉（1707-1783），被誉为"数学英雄"，"如果命运是块顽石，我就化作铁锤将它砸得粉碎"，这是数学家欧拉的钢铁誓言，他29岁时就解决了著名的哥尼斯堡"七桥问题"。
欧拉不仅在众多科学领域都有所建树，他还是历史上最多产的学者之一，《欧拉全集》（1911~1994）有83卷之多。但是他的学术生涯并非一帆风顺，因为他长时间饱受视力问题的困扰。1738年在圣彼得堡科学院进行的辛苦的地图学工作使他右眼几乎失明，1766年被查出患有白内障的几个星期后，他近乎完全失明。即便如此，欧拉生命中最后17年的黑暗世界似乎并未影响他的学术生产力，在书记员的帮助下，欧拉在多个领域的研究反而变得更加高产，这归因于他的心算能力和超群的记忆力。
例1．50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，则有_____块木块是一点儿漆都喷不到．
【解析】根据从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，得出每一层能喷到漆的立方体个数，即可得出答案．
∵50个同样大小的立方体木块堆砌成如图所示的形状，现在从前、后、左、右和上面五个方向朝这堆木块喷漆，
∴从下面数第1层有12个立方体木块会喷到漆，
从下数第2层有12个立方体木块都喷到漆，
从下面数第3层有12个立方体木块都会喷到漆，
从下数第4层有7个立方体木块都会喷到漆．
∴一点儿漆都喷不到的木块个数是：50﹣（12 12 12 7）＝7（块）．
故答案为：7．
变式1．有一个棱长为5的正方体木块，从它的每一个面看都有一个穿透的完全相同的孔（如图中的阴影部分），则这个立体图形的内、外表面的总面积是_____．
【解析】：根据图示可得：八个棱长为2的正方体分别在8个顶角，
12个棱长为1的正方体分别在12条棱的中间，
所以总面积＝（2×2×6）×8 （1×1×6）×12﹣4×12＝216．
故答案为：216
变式2．如图，图1、图2、图3是由棱长为1的正方体摆放而成的几何体，按照这样的方法继续摆放，自上而下分别叫做第1层、第2层、…、第n层．
（1）当摆至构成几何体的小正方体有2层时，求第2层的小正方体的个数，构成这个几何体的小正方体的总数，几何体的表面积．
（2）但摆至构成的几何体的小正方体有n层时，记第n层的小正方体的个数
变式3．由几个相同的边长为1的小立方块搭成的几何体如下图，格中的数字表示该位置的小立方块的个数
（1）请在下面方格纸中分别画出这个几何体从正面看和从左面看的形状图；
（2）根据从三个方向看的形状图，这个几何体的表面积为_____个平方单位；（包括底面积）
（3）若上述小立方块搭成的几何体从上面看的形状图不变，在小立方块总数不变，位置可以改变的前提下，则搭成的不同的几何体中，表面积最大的为_____个平方单位，（包括底面积）
【解析】：（1）如图所示
（2）根据从三个方向看的形状图，这个几何体的表面积为2×（5 4 3）＝24（平方单位），
故答案为：24．
（3）要使表面积最大，则需满足两正方体重合的最少，此时俯视图为：
这样上面共有3个小正方形，下面共有3个小正方形；左面共有5个小正方形，右面共有5个正方形；前面共有5个小正方形，后面共有5个正方形，
表面积为：1×（3 3 5 5 5 5）＝26（平方单位）．
故答案为：26．
例2. 18世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型如图1，解答下列问题：
（1）根据上面多面体模型，完成表格中的空格，你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______．
（2）一个多面体的面数与顶点数相等，有12条棱，这个多面体是______面体
（3）图2足球虽然是球体，但实际上足球表面是由正五边形，正六边形皮料组成的多面体加工而成每块正五边形皮料周围都是正六边形皮料；每两个相邻的多边形恰有一条公共的边；每个顶点处都有三块皮料，而且都遵循一个正五边形、两个正六边形的规律，请你利用（1）中的关系式，求出一个足球中各有多少块正五边形、正六边形的皮料．
【解析】：（1）四面体的棱数为6；正八面体的顶点数为6；关系式为：V F﹣E＝2；
（2）由题意得：F F﹣12＝2，解得：F＝7；
（3）设正五边形x块，正六边形y块，由题意得
所以正五边形为12块，正六边形为20块．
例3.1996年的诺贝尔化学奖授予对发现C６０有重大贡献的三位科学家。如图所示，C６０是由60个C原子构成的分子，它的结构为简单多面体形状，这个多面体有60个顶点，以每个顶点为一端点都有三条棱，面的形状只有五边形和六边形，你能计算出C６０中有多少个五边形和六边形吗？
解析：设分子C６０中五边形和六边形的个数分别为x，y，则C６０分子这个多面体的顶点数V=60，面数F=x y，楼数E=（3×６0）／２=90，由欧拉公式V F-E=2得60 x y-90=2①.
另一方面，棱数也可由多边形的边数之和来表示，有（5x 6ｙ）／２=90②.
由①、②得x=12，y=20.
故分子C６０中有12个五边形、20个六边形。
例4雨不停地下着，如果在雨地里放一个如图①（单位：厘米）那样的长方体的容器，雨水将它注满要用1小时.
有下列A--E五个不同的容器（图②），雨水注满这些容器需多长时间？
解析：题中"雨不停地下着"这一条件，也可以解为雨均匀地下（这与日常生活中的降雨略有不同，生活降雨可能会时大时小，且并不均匀）.雨水从散口部分垂直入到容器内，我们就可以把"敞开面"（即图中所示的阴影）叫做"接雨面"
图①所示的长方体容器，"接雨面"与底面大小相同，雨将它注满需要1小时，也就是说1小时后该容器内雨水的深度是10厘米，如果容的高度不止10厘米，而是无限的，那么2小时后容器内雨水的深度将会是20厘，以后每过1小时雨水的深度就会增加10厘米；如果在长方体容器中垂直放入一很薄的挡板（其厚度忽略不计），将大容器分成两个小容器（如图③所示）.
小容器"接雨面"变小了，但每个小容器的"接雨面"与底面大小仍然相同，那么1小时后，每个小容器内雨水的深度还是10厘米（因为忽略了挡板的厚度，它不占原来长方体容器的容积）.通过上述分析与假设，我们可得出如下结论：只要容器的"接雨面"与底面大小相同，1小时后容器内雨水的深度就是10厘米.
根据结论，观察图②所示的五种容器，其中A、B、E三种容器的"接雨面"与底面大小相同
A容器高10厘米，雨水注满该容器需要1小时；B容器高30厘米，雨水注满该容器需要3小时；E容器高20厘米，雨水注满该容器需要2小时。
剩下C、D两种容器，它们的"接雨面"与底面大小不同，可先将其转化为"接雨面"与底面大小相同的容器（如图④所示）.此时，C容器的高变为30厘米，雨水注满需3小时；D容器的高度为15厘米，雨水注满需1.5小时。
从多面体到足球，从蜂房结构、气泡的三重联结到多面体的面，还有矗立在我们面前的美丽雄伟的水立方，它们都体现了多面体的美和奥妙。
而著名数学家、前武汉大学校长齐民友教授在其专著《从多面体到水立方》一书中亦深情地写道：
"人类，特别是数学家，从大自然获得灵感，而数学帮助他们找到隐藏在深处的数学规律和美，最后还是数学帮助他们又把大自然的美物化为种种具体事物，如水立方这样的建筑，使人们能够生活在与大自然的和谐之中！这难道不是数学发现的真谛吗？"
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