聚点定理是《老黄学高数》系列视频第218讲分享的内容，指的是实轴上任一有界无限点集S至少有一个聚点。聚点定理还有一个推论，叫作致密性定理，全称是有界无限数列的致密性定理，《老黄学高数》系列视频第219讲也对它进行了介绍。
致密性定理的内容非常简单，即有界无限数列必含有收敛子列. 但它本身未必收敛哦。因为它同时可能存在不收敛的子列。
为了证明这个推论，设任意一个有界无限的数列{xn}，若这个数列含有无限多个相等的项，那么由这无限多个相等的项构成的数列，就是原数列的一个常数子列，而常数列总是收敛的。
如果数列中不含无限多个相等的项，那么数列在数轴上对应的点必然会构成一个有界无限的点集。
由聚点定理可知，有界无限点集至少有一个聚点。由于这个聚点肯定是区间套确定的点，因此原数列必有一个以它为极限的收敛子列，事实上原数列有无限多个以这个聚点为极限的收敛子列。
这个推论可以用来证明数列的柯西收敛准则的充分性。因为必要性只需极限的定义就可以证明，所以这里只证明充分性。
根据柯西收敛准则的收敛条件，取ε0=1，就有正整数N，使当m=N 1>N，而n>N时，就有|an-am|<1. 什么意思呢？N是一个有限值，所以m也是一个有限值，所以N和m对应的项，都是可以确定的。从而对应的项也是有限值。而小n就不一定是有一个有限值了。它只要比N大就可以了，所以可以是无穷大。但它的值，却被限定在邻域U(am,1)上了。
因此，可以推出|an|=|an-am am|≤|an-am| |am|<|am| 1. 这里运用了绝对值的三角不等式。目的是证明an是有限值。
取M=max{|a1|,|a2|,…,|aN|,|am| 1},，它就是整个数列的绝对值的上界，这说明原数列是有界的. 由致密性定理可知，有界无限数列{an}必有收敛子列.
记这个收敛子列的极限为A，根据极限的定义，任给正数ε，不论它有多小，总存在一个正整数K，使得当m,n,k大于K时，同时有|an-am|<ε/2, |a_(nk)-A|<ε/2.
由于m和nk都是任意的，所以每一个nk都可以找到一个m与之相等，而子列下标nk肯定大于原数列的下标k，k又大于K，那些下标小于nk的项，我们并不需要理会，因为列数极限只须研究下标充分大时的无穷多个项，也是数列几乎所有的项就可以了。
这就有|an-A|≤|an-a_m| |a_(n_k )-A|<ε.，从而由极限的定义可知an也收敛于A，柯西收敛准则的充分性得证。
目前老黄已经用了三种方法证明柯西收敛准则的充分性了。第一种是在《老黄学高数》的第78讲介绍的，运用的是戴德金分割的原理；第二种是在第215讲介绍的，运用的是区间套定理及其推论；而这里介绍的就是第三种证法。你可以对比一下，哪一种证法更优越，这个过程中，能加深你对相关知识的理解的哦。
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