数学学科核心素养是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。从教学实践来看，如何清晰把握数学教学来提升学生的数学核心素养仍是一线数学教师面临的问题。本文结合均值定理的教学片段，分析阐释指向高中数学核心素养的教学应该具有整体性、主题性、发展性等特点。
《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称“新课标”）的重要变化之一是凝练了数学学科核心素养，数学学科核心素养成为高中数学课程目标的重要组成部分。数学学科核心素养是具有数学基本特征的思维品质、关键能力以及情感、态度与价值观的综合体现，是在数学学习和应用的过程中逐步形成和发展的。如何在课堂教学中落实数学核心素养成为一个广大教师普遍关注的现实问题，大家都感觉缺少可以指引自己教学的实践之策。本文基于数学教学中的一个真实课堂片段，深入分析其背后的思维活动，在此基础上，从一线教学研究实践者的角度来探讨如何开展“指向数学核心素养的教学”，希望能够抛砖引玉，引发更多深入的思考与研究。
一、教学片段
二、问题提出
从上述的课堂片段中可以看到，教师为了帮助学生运用均值不等式完成例1，做了大量的引导、启发：一方面，引导学生发现不等式
的特征——左侧是两个互为倒数的正数之和，右侧是常数2；另一方面，启发学生建立题干中待求证的不等式和均值不等式结构特征的联系，提示“均值定理中也有2”，且带着学生把均值不等式改造成了
这和
的形式一致。这些行为说明，教师已经在课前充分认识到了该班学生数学基础薄弱的状况，预见到学生在完成例1时会有困难。但是，从学生的课堂行为来看，教师并没有达成自己的教学预期，学生兜了一个大圈子才使用均值不等式完成证明。
实际上，上述这种教与学的现象是具有普遍性的。那么，问题到底出在哪儿呢？
三、问题分析
在笔者看来，这恰恰是教师对学生核心素养培育落实不足的地方。下面我们将从证明例1的思维要素、教师教的行为、学生学的行为三个方面来分析该片段，以期找到问题的原因所在。
（一）证明例1的思维要素分析
首先，需要理解均值不等式本身。公式和定理体现了概念的属性或者概念与概念间的关系，反映了某一系统中存在的规律。均值定理反映了在由两个正实数构成的系统中，这两个正实数的算术平均值和几何平均值间的数量关系。数学中习惯于用符号语言清晰简洁地表达数学规律，因此引入了两个字母a,b 来表示这两个正实数，所以a,b 是具有抽象属性的一般意义的量，泛指任何两个具有正实数属性的量。可以看到，a,b也可以用其他字母代替，也就是说
与
，
，甚至
没什么本质区别，不过是上述规律的一种形式化表达而已。
其次，需要从结构上理解均值定理的功能与价值。均值定理反映了两个正实数的和与积的大小关系，从不等式的左右顺序看，具有数量转化的功能：从左向右，体现了将和的形式缩小为积的形式；从右到左，体现了将积的形式放大为和的形式。在缩（放）的过程中保持了原有代数式的次数特性。
再次，需要理解待求证的不等式。要能够理解其所表达的是“两个互为倒数关系的正实数的和不小于2”；同时，还要将所隐含的信息“两个互为倒数的实数之积为1”显性化，使其进入到大脑的工作记忆中。
此外，需要能够将均值定理和待求证结论联系起来，发现待求证不等式就是均值定理所描述规律中的一个特例。
最后，需要具备基本的推理活动经验：一个一般性的原则（大前提），一个附属于前面大前提的特殊化陈述（小前提），以及由此引申出的特殊化陈述符合一般性原则的结论。这就是最基本的逻辑判断——三段论（不需要学生知道三段论的概念）。
（二）教师教的行为分析
从教学片段中教师的教学行为可以看到，教师希望帮助学生克服问题解决障碍，重心放在了两个方面：一是对待求证不等式的结构特征认识，二是建立待求证结论与均值定理的联系。回顾对例1的思维要素分析，就会发现，教师缺少了引导学生深刻理解均值定理内涵及其功能价值的环节，也缺少对运用公式进行推理的已有经验的唤醒。这是造成学生仍然难以克服困难的重要原因。
（三）学生学的行为分析
数学学习离不开解题活动，学生学的效果也往往是通过解题能力来测评的，这很容易导致学生仅关注解题过程中涉及的知识、技能和方法。但这些仅是决定解题成败所需的显见要素，记住的知识和熟练掌握的技能不一定能在恰当的场景被关联调用，熟悉的方法也不一定能被有效迁移运用。这些现象在学生的现实学习中是非常普遍的，足以说明他们还忽视了一些关键性要素。这个关键性要素，就是对方法和技能背后的概念性关系的理解，它需要学生通过协同思维来实现，这种概念性理解是实现知识、技能和方法迁移运用的基础。
从教学片段中可以看到，生2对均值定理的认识处于无所指的形式化水平，并没有理解均值定理所表达的规律（尽管前面已经经历了用文字语言描述均值定理的环节），因此，生2将均值不等式中的字母与待求证不等式中的字母相混淆，认为二者是相同的。所以她在使用均值定理时，采取的行动是先将左边通分并进行配方，凑出含有均值定理的表面形式a b，才开始使用均值定理。这一学习行为背后，反映出学生缺乏理解和运用公式的基本学习活动经验。实际上，学生在以往的数学学习过程中，并不乏学习公式的经历，但是没有生成应有的学习这类知识的必要经验。这既有教的问题，也有学的问题，但主要是教师教的问题。教师在公式教学中缺少帮助学生总结反思公式学习的经验，甚至教师本人也缺乏对公式学习的基本思维特征的抽象概括的经验。
本教学片段中，教师没有认识到学生在这个方面的学习经验的缺失，没有发现学生在均值定理的形成过程中仅关注了公式的推导证明，只是经历了对公式语义的描述，并没有形成对公式形式背后的实质意义（反映的本质规律）的深刻理解。这是在解决例1问题时学生遇到障碍的根本原因。
通过对该问题的分析，我们发现，教师进行教学设计需要完整认识和分析所教内容，不仅要关注知识本身，更要关注所教知识的价值以及学生已有的经验，即培养学生核心素养的教学应体现整体性。
四、教学改进——指向学生数学核心素养的提升
均值不等式是高一第一学期第一单元的教学内容。这个时期的学生在经历了初中阶段的学习后，代数思维意识、习惯刚刚起步，有待进一步发展；数学基础薄弱的学生甚至对字母表示数带给数学的变化和意义还缺少基本的认识，对用符号语言所呈现出来的形式化数学规律背后所指的实质意义缺乏理解。此外，对不同类型数学知识的学习理解框架，大多数学生也还没有建立起来。可以看到，这不是单个知识和技能层面的困难，而是系统性层面的困难，因此需要系统化地解决困难。为了克服这个困难，同时帮助学生形成良好的思维习惯，提升数学核心素养，教师需要在高一初始阶段帮助学生积累公式学习的经验和方法、积累代数推理的活动经验、巩固“代换”的方法、深入理解均值不等式。
第一，积累公式学习的经验和方法。学生在初中阶段，不乏公式的学习经历，也不乏代数问题的处理经历，但他们缺少从这些经历中抽象概括出必要的代数学习与代数问题解决的经验。这是学生进入高中阶段完成进一步数学学习的重要基础，教师在教学中要充分挖掘利用。如果学生的数学基础非常薄弱，可以在等式和不等式单元增加1个课时，回顾梳理初中的主要代数内容学习的经历，如平方差公式、完全平方公式、判别式等，从中抽象概括出公式学习的要点和方法。
第二，积累代数推理的活动经验。在不等式性质的内容中，除了落实“作差比较大小”这一基本方法，还可以适度引导学生用综合法求证不等式，例如依据前面的不等式基本性质，用综合法证明性质：“若a>b，c>d ,则a c>b d。”在用综合法证明的推理过程中，每一步推理，本质上都是三段论，作为依据的大前提都是符号语言表达的形式化结论，由于学生对其形式所指意义已非常熟悉，故不会感觉到任何理解上的困难。但他们在求证思路的构建上可能会有一点小困难，因为需要理解不等式传递性的功能，并具有运用传递性功能的经验。教学的目的，不在于让学生理解这个求证过程，而是要他们从中分析外显化求证过程背后的思维过程，积累代数推理的思维活动经验。因此，教师可以设计如下任务引导学生自主学习：
学生不难得到a c>b c或a d>b d；c a>d a或c b>d b。
第三，巩固“代换”的方法。有了前面的铺垫，在均值定理学习中的证明环节，可以设计如下任务，引导学生再次体验公式运用中的基本方法“代换”。
【设计意图】体会代数运算变形的方向来自明确的目标和待处理代数式的结构特征（次数、系数、单项式还是多项式等方面）。证明不等式的基本方法是作差比较， 方向是差与0的比较（即符号判断），可以关联初中学过的确定符号的代数式
；由代数式
的特征（三项式，次数具有二倍关系）关联到完全平方公式，可获得求证方法。
【设计意图】强化认识：代换是由基本不等关系获得新的不等关系的重要方法。
第四，深入理解均值不等式的内涵和价值。在完成均值定理证明后，教师先提示学生反思总结学习公式的基本经验有哪些，组织引导学生交流各自对均值不等式的理解，之后提出如下任务：
然后再给出例1，此时学生已经能够水到渠成地自主解决问题。实际上，这也为后续“用均值定理求最值”的学习奠定了很好的思维基础。
五、指向学生数学核心素养提升的教学特点
通过前文对均值定理教学片段的分析与改进，我们不难发现，在整个分析、改进设计的过程中，整体性、主题性、发展性是指向数学核心素养教学的特点。
（一）整体性
首先，在数学内容理解上，“把握数学本质，启发思考，改进教学”是新课标的基本课程理念，而“把握数学本质”在有限的课时内容中是不可能实现的，只有将一个个概念、定理置于更大的单元、章、主题的范畴之下，才能识得其数学本质，即必须在整体课程观下才能把握数学内容的本质。例如，将均值定理置于代数范畴中加以思辨，才更容易发现其本质属性：它是两个正实数变量的恒不等关系式，其基本构成形式为“同次和与积”，这一结构决定其具有“和”与“积”缩（放）转化、比较大小、确定范围或最值的功能；其适用的场景，除了正实数的范围，还有“和”“积”的结构属性；其使用的基本方法是代换。
其次，在学生学习理解上，挣脱课时的束缚，放眼学生学习的整个经历，就会发现仅关注学生所处的特定阶段是不够的。上述片段中，学生学习的难点实际上不是单一知识和技能层面的，而是高一新生适应更抽象的高中数学学习的初高中过渡问题，显然没有整体观念的学情分析是不行的。此外，整体性还体现在学情分析中，不仅要有基于“四基”的思维基础分析，还应有学生的学习习惯和态度维度的分析。教师只有基于整体观念进行学情分析，才能全面准确地抓住学生学习的基本情况，认清学生的学习基础，有效设计学习活动，帮助学生发展数学核心素养。
没有上述这些整体观念下的内容本质的把握、学情的分析，就不可能凝练出适切的主题、确定适当的主题学习目标、制定合理的课时规划、设计有效的学习活动和评价。
（二）主题性
没有明确的主题，教师的教学在实质上很难逃脱课时教学的惯性，难以有效组织各个课时的教学内容，形成课时之间的内在逻辑联系，建立结构性的主题知识群。在上述教学改进案例中可以看到，“建立良好的数学思维习惯”是进行教学改进的核心，也是教学设计的主题，主题对教学的组织有“聚合器”的作用。在这一主题之下，表面上看似无关的几个知识，被“良好思维习惯”统筹联系起来，即：为准确描述研究对象（集合）打好基础，关注探索不同对象之间的逻辑关系（常用逻辑用语），积累和发展代数技能与思维能力，初步形成并建立多元思维视角，知道模型转换是突破思维局限的重要路径（函数视角下的二次方程和二次不等式）。
（三）发展性
打破传统课时教学中盲目追求“一步到位”的观念，不论是大到学生数学核心素养的发展，还是小到某个概念或定理的理解，都是需要一个过程的，过程的长短取决于学习个体的情况。一般情况下是不可能“一步到位”的，更不太可能实现全班“齐步走”的，这是一个基本客观事实。学习活动和评价的设计，需要在发展的眼光下，结合学习内容进行整体规划设计，化解学生的学习难点，促进学生按着个体的学习节奏获得渐进的提升与发展。
例如，在均值定理的运用中，学生经常会出现忽视使用的正实数条件或在求最值中忽视等号成立的条件等现象，这些现象背后反映出“习惯性忽视定理使用条件”非常普遍，这实际上涉及学生的思维习惯问题。这显然不是一朝一夕形成的，既有人类大脑认知中“只关注最突出”的先天本性的原因，也与后天学习活动中有意识的主动注意不足有关。另外，常用逻辑用语单元的教育价值，不在于让学生知道多少逻辑用语，而在于学生良好逻辑思维习惯的建立，但这不可能在逻辑用语这一个小单元就实现，而是需要在所有的逻辑思维活动中，有意识地运用逻辑用语，有序地、有逻辑地进行思考。例如，量词的学习，其最大价值，是将“命题是有定义域的”这一特性显性化。教师在逻辑用语的教学中引导学生认识到命题中的量词（或隐性量词）显示了定理的成立范围之后，在后续的所有公式、定理的学习中，都应该要求学生在运用定理时，首先要关注其适用的范围。这本身也是理解、运用定理或公式应有的思维习惯。
来源丨《基础教育课程》
作者丨李大永 胡凤娟
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