本文为“2022年第四届数学文化征文活动
除法才是四则运算的基础：兼与马立平博士商榷
作者 : 欧阳晓世
作品编号：071
2022年7月底，笔者在微信公众号【皮皮蝦】里，偶然看到马立平博士撰写的《小学数学教材中比问题插画更严重的问题——算理体系的垮塌》一文，谈一点自己的观点，请马博士以及各位读者批评指正。
文中，马博士认为：2001年以来，大陆小学数学教材取消被乘数和乘数的区别，导致算术算理体系垮塌。算术算理体系基于两个最基本的数量关系——两个数的和与两个数的积，除法概念基于乘法概念。
显然，马博士秉持流行的观点——增量是最基本的运算，加法是四则运算的基础。笔者也反对取消被乘数和乘数的区别，但是认为中分是最基本的运算，除法才是四则运算的基础。
言及算术算理体系，必然要回溯到自然数的定义。数学界定义自然数的方法不止一种，笔者只讨论皮亚诺公理。
皮亚诺公理首先假设了存在自然数0和增量运算，不仅在定义自然数前假设存在一个自然数是违背逻辑的，而且依据奥卡姆剃刀原理，假如存在兼是运算的常数，就应该采用这种假设更少的假设。
分数就是兼是运算的常数，最简单的分数是1/2。假设存在兼是中分运算的常数1/2，那么常数1/2就能自行依次持续进行中分运算，从而少一个假设，甚至不需要其他假设，就可以定义自然数。
当然，正如在定义自然数之前假设存在一个自然数是违背逻辑的，在定义自然数之前用到自然数也是违背逻辑的。以上用1/2来表达，是为了便于读者理解，可以先用✝表示，定义了自然数之后，再用1/2来表示：✝→0，✝✝→1，✝✝✝→2，✝✝✝✝→3，……
因此，所谓自然数就是常数1/2进行中分运算的基数，且始于0。也可以说，自然数是常数1/2生成的，常数1/2才是真正的原点。中分是最基本的运算，中分运算属于除法，所以除法才是四则运算的基础。这样，才能解释为何除法封闭性是数系扩充的原则。
其实，笔者认为✝（1/2）存在不是假设，有兴趣的读者可以在微信文章里搜索“数学基础与黎曼猜想 ——《数学简史：确定性的消失》读后思考”去了解，同样欢迎批评指正。
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