林根数学 今天
周春荔先生在一篇文章中，谈到了一个例题：
“证明存在两个无理数x,y，使z=x的y次方是有理数。
证法一：用反证法，
设对于任何两个无理数x，y，来说，z=xy都是无理数，那么
就一定是无理数．进而
也就是无理数。
但是
是有理数，因此得出矛盾。这表明，存在有两个无理数，使得z=x的y次方是有理数。”
这个证明本身没有什么问题，但它没有给我们一个实际的构造方法，即，对一般情况的两个无理数α，β，我们如何判断α的β次方是不是无理数呢？
实际上，比无理数更深一点的概念是代数数和超越数。
定义：一代数数ξ乃适合方程
之根，此处，an,an-1,…,a1,a0是有理整数，若此式不可分解，且an≠0，则此ξ称为n次的代数数．若an = 1，则此ξ称为n次的代数整数．
非代数数的数称为超越数。
超越数的判断很困难，现在人们所知的超越数不多，比如常见的数e,π,Hermit第一个证明了e是超越数，Lindemann第一个证明了π是超越数。
至于其它的证明，虽然时有声称只用简单方法就证出这个结论，但正确性未经同行检验。
比如下面的证明：
（见《中学数学杂志》2010年第 7期）
两个方面需要注意：
（1）超越数的理论更艰深。人们对无理数甚多了，可是对超越数的了解现在还极少，甚至还没有入门；
（2）超越数的数的测度远远大于无理数，意思说，无理数是无穷的，可是它和超越数相比，就几乎是0个；就如同自然数是无穷的，可是与无理数相比几乎是0个一样的。换句话说：“几乎”所有数都是超越数！
通过文首周先生的文章，我们知道了无理数的无理数次方有可能等于有理数，但我们只是知道有了这样的数，但这个到底在哪儿？如何构造出来？却不是那么容易的。好在，有个 Gelfond-Schneider 定理，这个定理由AleksandrGelfond和Theodor Schneider在1934年独立证明，它回答了希尔伯特第七问题。
1900年，Hilbert提出了著名的23个数学大问题，其中第7个问题是：
若α≠0，1，且是一代数数，β是一非有理数之代数数，问α的β次方是否是超越数。并举出两例：即能否证明
是超越数。
关于此问题第一个作出重要贡献的前苏联数学家Гельфонд,他在1929年证明了eπ是超越数。
后来，两人前苏联数学家Куэьмин和Гельфонд再接再厉，将Гельфонд的方法推广到实二次域，在1630年证明了2的√2次方是超越数。
至于说类似的形式，比如：π的e次方， π的π次方，e的e次方，是不是超越数，感兴趣的读者可以试一下证明。
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