一般地，函数(a为常数且以a>0，a≠1)叫做指数函数，函数的定义域是 R 。
常见的一类指数函数的底(e为自然常数，即等于)，即。
上式中的自变量为实数。后来，数学家们将自变量的取值范围延拓到复数域，则指数函数变为，其中自变量为复数。当时，，这就是著名的欧拉恒等式。
那么，当自变量为矩阵时，是个什么情况？
指数是矩阵的指数函数咋来的？我们假定有这样一个参数微分方程组：
不难发现该方程组的一组特解是圆的方程：
上述微分方程组用矩阵形式表示为：
也即
其中矩阵
这个方程进一步表示为
将视为一个变量，采用分离变量法解该微分方程，得到
也即
这样就求得
也即
带入值后，变成了
我们得到了一个非常简洁的指数为矩阵的指数函数！
如何理解指数为矩阵的指数函数？通常的可以理解为，可以理解为，。如果指数不是整数但是有理数时，则指数可以用分数来表示，如可以理解为。如果指数是无理数，则如何理解呢？
这个时候，需要借助泰勒级数这个超级数学工具：
这个级数对复数也成立，也即
如果将该公式的指数推广到矩阵，则应该得到
上式中，表示为个矩阵的乘积。当为零时，为单位矩阵。
我们根据上述延拓到矩阵指数的泰勒技术计算一下时的值。带入公式得到
计算如下值并带入上式：
其中
...
得到
将各项的矩阵相加，进一步得到
我们发现上述等式右边的2×2矩阵，正好与正弦、余弦的泰勒公式对应：
这样，我们就推导出
令，则得
也即
这个式子与欧拉恒等式
完全对称：
- 为单位矩阵，与实数或复数域的对应；
- 矩阵与虚数单位对应。由于，我们发现，也即；
如果记为，则（矩阵的平方为负单位矩阵！！！），矩阵为虚单位矩阵。则我们得到非常优雅的矩阵域的欧拉恒等式：
此外，与也有类似的性质：
同样的，借鉴，我们可以将前面推导出来的结论：
修改为矩阵领域的欧拉公式：
因为：
,
这里，我们不得不惊叹于数学的完美！！！
用GeoGebra验证矩阵指数的泰勒公式，结果正确：
我们在试着求一下的值：
极氪001
再来验算一下时，用泰勒公式计算的值：
用上述刚推导出来的欧拉公式计算的值：
