概述

格点作图问题作为中考的新宠儿,自从登上中考试卷之后,迅速的在初中各年级考试当中铺开,并且难度有逐年加大的趋势. 借鉴了尺规作图的处理思路,我对格点做图进行了探讨,讲一些经验分享如下.

在正式开始格点作图的讨论之前,我们必须要树立这样的一个概念,正如尺规作图存在局限性一样,有著名的尺规作图三大不可能问题,格点作图也存在很大的局限性. 那么格点作图能处理哪些问题呢?他的局限性是什么呢?这便是我们要探讨的问题了.

格点作图的局限性

第一次接触到格点作图的,会让你想到什么呢?

很多同学回答我说,想到了平面直角坐标系,但是格点作图和平面直角坐标系是迥然不同的两个东西. 格点作图的网格是“稀疏”的,平面直角坐标系的网格是“稠密”的. 如果我们也把格点作图的网格视作坐标系的话,那么借由无刻度直尺,我们只能在这个所谓的“格点坐标系”里面画出横纵坐标均为有理数的点,而在平面直角坐标系中,我们可以画出横纵坐标为任意实数的点.

和平面直角坐标系进行对比之后,我们便能很直观的认识到格点作图的局限性,即格点作图只能处理特殊的问题.

格点做图的可能性

我不想用具体的题目去阐述格点作图能够解决哪些问题,不能解决哪些问题. 让我们做一些更加形而上的工作,从更抽象的角度解释下格点作图能够解决哪些问题.

在进行解释工作之前,我们先定义几个新的概念.

从线段和角度的视角

  1. 格点作图能画出水平或竖直方向任意有理线段
  2. 格点作图能画出任意有理角

从三大变换的视角

  1. 平移:格点作图可以对任意点进行水平or竖直任意有理长度的平移
  2. 对称:格点作图可以对任意点进行关于任意有理直线的对称操作
  3. 旋转:格点做图可以对任意点进行任意二阶有理角的旋转操作

有了上述的总结,我们便可以轻松认识到哪些问题是无法使用格点做图去解决的,在此举几个简单的例子,比如画一个60度的角或者水平or竖直方向上画一个根号5长度的线段.

格点作图的基本技巧
  1. 水平or竖直方向上画任意有理长度

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(1)

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(2)

图1橙色线段为三分之一,图2橙色线段为四分之三

竖直方向有理长度画法同理易得,在此不做赘述

诀窍:利用相似和比例线段相关知识,综合使用“A型相似”或者“X型相似”.

  1. 任意点关于任意有理网格线的对称点

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(3)

上图为作点A关于绿色的有理网格线的对称点A'

竖直方向有理网格线的作法同理易得,在此不做赘述.

诀窍:两线相交可定点,故作直线关于网格线的对称来确定对称点,而直线的对称又通过特殊点关于网格线对称进行表述.

  1. 任意点关于任意有理网格线的垂线或者平行线

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(4)

上图为作点A关于绿色的有理网格线的垂线AA'

过点A作绿色网格线平行线的作法同理易得,在此不做赘述.

诀窍:对称点相连即可得平行or垂直

  1. 任意二阶有理角的角平分线

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(5)

上图为作有理角∠ABC的角平分线BD

诀窍:观察可知$\tan \angle ABC=\frac{3}{4}$,根据正切三角函数二倍角公式可得$\tan \angle CBD=\frac{1}{3}$

  1. 平移:任意点进行水平or竖直方向上任意有理长度的平移

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(6)

上图为作点A向右平移1个单位长度的点A'

竖直方向平移的作法同理易得,在此不做赘述.

诀窍:两线相交可定点. 根据(三)可作过点A的平行线,同时结合过点A的蓝色直线平移便可得到A'. 蓝色直线的平移转化成特殊点的平移.

  1. 任意线段取任意有理等分点

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(7)

上图为取任意线段AB的三等分点O

诀窍:由(五)可知,可作任意点关于任意有理长度在水平或者竖直方向的平移,所以取线段AB的三等分点构建X型相似即可. 点A往下平移1个单位长度变成A',点B往上平移两个单位长度变成B'.

  1. 对称:任意点进行关于任意有理直线的对称操作

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(8)

上图为作点A关于绿色有理直线(倾斜角正切值为2)的对称点A'

其他有理直线的作法同理,在此不做赘述.

诀窍:两线相交可定点. 找到两个特殊的网格点,先做他们关于绿色有理直线的对称点,然后分别作这两个特殊点与A的连线,通过这两条连线的对称,来找到A的对称点.

  1. 旋转:任意点进行任意二阶有理角的旋转操作

初中数学格点与尺规作图方法(中考数学格点作图完全解析)(9)

上图为将点A绕点O逆时针旋转α,且α=∠COD

诀窍:先做出∠COD的角平分线OE,然后作A关于直线OE的对称点K点,紧接着作K关于OC的对称点A'

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