证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(1)

证明一条直线是圆的切线,常见的方法有两种:

⑴当直线和圆有一个公共点时,把圆心和这个公共点连接起来,然后证明直线垂直于这条半径.可以记为“作半径,证垂直”.

⑵当直线和圆的公共点没有明确时,可过圆心作直线的垂线,再证圆心到直线的距离等于半径.可以记为“作垂直,证半径”.

下面举例具体说明.

【例1】已知:如下图所示,AB是圆O的直径,线段AF与圆O相切于点A,D是AF的中点,BF交圆O于点E,过B点的切线与DE的延长线交于点C.求证:CD与圆O相切.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(2)

思路分析:CD与圆O有公共点E,连接OE,要证CD是圆O的切线,需证∠DEO=90º.

容易证明∠FAO=90º,因此,可证∠DEO=∠FAO.

【证法一】如下图,连接OE、AE.∵AB是圆O的直径,∴AE⊥BF. ∵D是AF的中点,∴AD=DF=DE. ∴∠DEA=∠DAE. ∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA.

∵AB是圆O的直径,AF是圆O的切线,

∴∠DAE ∠OAE=90º,∴∠DEA ∠OEA=90º,∵OE是圆O的半径,∴CD与圆O相切于点E.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(3)

【证法二】如下图,连接OE、AE、OD.∵AB是圆O的直径,∴AE⊥BF.∵D是AF的中点,∴DA=DE=1/2AF. 易证△OED≌△OAD,∴∠OED=∠OAD.

∵AB是圆O的直径,AF切圆O于点A,∴∠FAO=90º,∴∠OED=90º.

∵OE是圆O的半径,∴CD切圆O于点E.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(4)

【例2】已知:如下图所示,四边形ABCD内接于圆O,过点C的直线分别交AB、AD的延长线于E、F,对角线AC平分∠BAD,且CD^2=AB·DF.

求证:⑴EF∥BD;⑵EF是圆O的切线.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(5)

思路历程:∵∠BAC=∠DAC,∴弧BC=弧CD.∴BC=CD.∵CD^2=AB·DF,∴ CD·BC=AB·DF,即BC/DF=AB/CD,又∠FDC=∠ABC,则△ABC∽△CDF,则∠BAC=∠DCF=∠BDC. ∴BD∥EF. 要证EF是圆O的切线,需证OC⊥EF,只需证OC⊥BD.

【证明】⑴∵AC平分∠BAD,∴弧BC=弧CD. ∴BC=CD. ∵CD^2=AB·DF,∴CD·BC=AB·DF.

∴BC/DF=AB/CD.∵∠FDC=∠ABC,∴△ABC∽△CDF.∴∠DCF=∠BAC. ∵∠BAC=∠BDC,∴∠BDC=∠DCF. ∴ EF∥BD.

⑵如下图,连接OC,∵C为弧BD的中点,∴OC⊥BD. ∵EF∥BD,∴OC⊥EF. ∴EF是圆O的切线.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(6)

【反思】证明垂直时,要注意利用题中的直角条件,也要注意利用圆的性质证出直角.如直径对的圆周角是直角,切线垂直于过切点的半径,平分弧的直径垂直于这条弧所对的弦.

【例3】已知:如下图所示,□ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,AD切圆O于点E.求证:BC和圆O相切.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(7)

思路分析:因为BC和圆O没有明确的公共点,因此可作OF⊥BC于F,证OF等于圆O的半径.

【证明】如下图,连接OE,作OF⊥BC于F.∵AD切圆O于点E,∴ ∠OEA=90º. ∴∠OFC=∠OEA. □ABCD中,OC=OA,AD∥BC.∴∠OCF=∠OAE. ∴△OCF≌△OAE. ∴OF=OE. ∴BC和圆O相切.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(8)

【例4】已知:如下图所示,AB是圆O的直径,CD切圆O于点E,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、D.求证:AB是以CD为直径的圆的切线.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(9)

思路分析:连接OE,易证E是以CD为直径圆的圆心,因AB与这个圆没有明确的公共点,要证AB为切线,可作EF⊥AB于F,证EF等于半径CE.

【证明】如下图所示,连接AE、OE,作EF⊥AB于点F.∵CD切圆O于点E,∴OE⊥CD. ∵AC⊥CD,BD⊥CD,∴AC∥OE∥BD. ∵AO=OB,∴CE=ED. ∴E是以CD为直径的圆的圆心.∵OA=OE,∴∠1=∠3. ∵AC∥OE,∴∠2=∠3. 则∠1=∠2, ∴EF=CE,∴AB是以CD为直径的圆的切线.

证明圆的切线的技巧中考(怎样证明圆的切线)(10)

【反思】证明切线时,要看清直线与圆是否有明确的公共点,再选择证明方法.对于没有告诉直线与圆有明确的公共点的题目,则需证明圆心到直线的距离等于半径.

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