我们曾讨论过基础学科的重要性，也提到了当前人们之所以对计算机越发依赖，是因为我们的世界已经有很多问题太过复杂，以至于只能借助于计算机超级强大的计算能力才能找到答案。
计算机之所以有如此强大的计算能力，除了硬件方面，也是因为他具备了一套特殊的“思考方式”。而这其中最根本的能力，就来自于数学思维。
数学是一切科学的基础，是推动科技创新、发展高新技术产业的基石。在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具，一直发挥着举足轻重的作用。
另外，对很多人来说，学数学不是为了解数学题，不是为了当数学家，而是为了培养数学思维。数学思维，不仅能让你登上更高的高度，开拓你的眼界，也能够帮你建立一些正确的常识，让你少走弯路，并且让你在人生的每一个岔路口，有更多的选择。
那么，应该怎样学数学？本文用一张导图和19本书，帮你梳理出一条数学学习路线，带你走进神奇的数学世界。
▲数学学习路线图
代数- 《线性代数（原书第9版）》
- 《线性代数及其应用（原书第5版）》
- 《应用线性代数：向量、矩阵及最小二乘》
- 《线性代数高级教程：矩阵理论及应用》
- 《矩阵分析（原书第2版 ）》
- 《代数（原书第2版）》
《线性代数及其应用（原书第5版）》
作者：David C. Lay 等
推荐语：本书根据“线性代数课程研究小组”的建议，通过认真观察学生的实际需要和许多不同专业使用线性代数知识的共同点而选材。
本书是一本优秀的线代教材，给出线性代数基本介绍和一些有趣应用，目的是帮助读者掌握线性代数的基本概念及应用技巧，为后续课程的学习和工作实践奠定基础。
概率论- 《概率论基础教程（原书第9版）》
- 《哈佛概率论公开课》
- 《概率与计算：算法与数据分析中的随机化和概率技术（原书第2版）》
- 《高维概率及其在数据科学中的应用》
- 《概率统计（英文版·第4版）》
- 《概率论与统计推断（英文版·原书第10版）》
- 《概率论基础教程（英文版·原书第10版）》
《概率论基础教程（原书第9版）》
作者：Sheldon M. Ross
推荐语：本书是经过锤炼的优秀教材，已在世界范围内畅销三十多年。在美国的概率论教材中，本书占有50%以上的市场，被华盛顿大学、斯坦福大学、普度大学、密歇根大学、约翰霍普金斯大学、得克萨斯大学等众多名校采用。
国内很多高校也采用这本书作为教材或参考书，如北京大学、清华大学、华东师范大学、浙江大学、武汉大学、中央财经大学和上海财经大学等。
书中通过大量的例子系统介绍了概率论的基础知识及其广泛应用，内容涉及组合分析、条件概率、离散型随机变量、连续型随机变量、随机变量的联合分布、期望的性质、极限定理和模拟等。
《哈佛概率论公开课》
作者：贝内迪克特·格罗斯 乔·哈里斯 埃米莉·里尔
推荐语：智能时代不可不知的数学世界观，人人都能读懂的通识概率普及课。
在现实世界中，我们经常需要基于不完整的信息做出各种决策，因此具备基本的概率知识素养是必不可少的。本书专为对此有兴趣的读者和对这门学科不熟悉的读者而设计，以帮助他们为学习概率论打下坚实的基础。通过对话式的语言和严谨的数学推导，本书以引人入胜的风格讲述了丰富的概率内容。
数理统计- 《数理统计学导论（原书第7版）》
- 《数理统计与数据分析（原书第3版）》
- 《数理统计学导论（英文版·原书第8版）》
- 《数理统计及其应用（英文版·原书第6版）》
《数理统计与数据分析（原书第3版）》
作者：John A. Rice
推荐语：本书将现代统计学的重要思想引入数理统计课程中，强调数据分析、图形工具和计算机技术，注重统计的实务和应用。书中直观而深刻的统计思想，简明而翔实的数据分析实例，新颖而丰富的图形工具和计算机技术使其别具风格，开创了概率论与数理统计教程著述方式的先河。本书被国外众多院校作为教材，如斯坦福大学、加州大学伯克利分校和芝加哥大学等。
数学分析- 《数学分析原理（原书第3版）》
- 《实分析（原书第4版）》
- 《实分析与复分析（原书第3版）》
- 《泛函分析（原书第2版·典藏版）》
- 《矩阵分析（原书第2版 ）》
《数学分析原理（原书第3版）》
作者：Walter Rudin
推荐语：这是一部现代数学名著，一直受到数学界的推崇。作为Rudin的分析学经典著作之一，本书在西方各国乃至我国均有着广泛而深远的影响，被许多高校用做数学分析课的必选教材。本书涵盖了高等微积分学的丰富内容，精彩的部分集中在基础拓扑结构、函数项序列与级数、多变量函数以及微分形式的积分等章节。
第3版经过增删与修订，更加符合读者的阅读习惯与思考方式。本书内容相当精练，结构简单明了，这也是Rudin著作的一大特色。与其说这是一部教科书，不如说这是一部字典。
《泛函分析（原书第2版·典藏版）》
作者：沃尔特·鲁丁（Walter Rudin）
推荐语：本书是国际著名教材，在材料的取舍和处理手法上很有特色，对某些公理进行了准确描述，并精彩地讨论了一些深入的专题，还介绍了在其他数学分支（如微分方程）中有价值的应用。用作者自己的话来讲，他并不期望写一部百科全书，而是为进一步的探索打开通道。本书叙述清楚，论证严谨，不少地方的注释相当精辟并具有启发性。
最优化方法- 《凸优化教程（原书第2版）》
- 《凸优化：算法与复杂性》
- 《在线凸优化：概念、架构及核心算法》
《凸优化教程（原书第2版）》
作者：尤里·涅斯捷罗夫
推荐语：国际著名凸优化专家Yurii Nesterov多年研究成果的总结。内容包括凸优化的算法理论的新进展，不但包含一阶、二阶极小化加速技术的一个统一且严格的表述，而且为读者提供了光滑化方法的完整处理，这极大地扩展了梯度类型方法的应用范围。此外，本书还详细讨论了结构优化的几种有效方法，包括相对尺度优化法和多项式时间内点法。
本书对理论优化的研究人员以及从事优化问题工作的专业人士非常有用，它提供了许多成功的例子来说明如何开发非常快速的专门极小化算法。基于作者的讲座实践，本书自然也可以作为工程、经济、计算机科学和数学学科学生的介绍性及高级凸优化课程教材。
数学建模- 《数学建模（原书第5版）》
- 《数学建模方法与分析（原书第4版）》
《数学建模（原书第5版）》
作者：Frank Giordano, William Fox 等
推荐语：数学建模是用数学方法解决各种实际问题的桥梁。本书从离散建模和连续建模两部分介绍了整个建模过程的原理，通过本书的学习，读者将有机会在创造性模型和经验模型的构建、模型分析以及模型研究中得到亲身实践，增强解决问题的能力。
数值分析- 《数值分析（原书第2版）》
- 《数值方法：设计、分析和算法实现》
《数值分析（原书第2版）》
作者：Timothy Sauer
推荐语：本书是一本优秀的数值分析教材，书中不仅全面论述了数值分析的基本方法，还深入浅出地介绍了计算机和工程领域使用的一些高级数值方法，如压缩、前向和后向误差分析、求解方程组的迭代方法等。
每章的“事实验证”部分结合数值分析在各领域的具体应用实例，进一步探究如何更好地应用数值分析方法解决实际问题。
此外，书中含有一些算法的MATLAB实现代码，并且每章都配有大量难度适宜的习题和编程问题，便于读者学习、巩固和提高。本书内容生动新颖，讲解细致，实用性强，受到广泛好评，被美国多所大学采纳为教材或指定为参考书。
数论- 《数论概论（原书第4版）》
- 《初等数论及其应用（原书第6版）》
《初等数论及其应用（原书第6版）》
作者：Kenneth H.Rosen
推荐语：本书是数论课程的经典教材，自出版以来，深受读者好评，被美国加州大学伯克利分校、伊利诺伊大学、得克萨斯大学等数百所名校采用。本书以经典理论与现代应用相结合的方式介绍了初等数论的基本概念和方法，内容包括整除、同余、二次剩余、原根以及整数的阶的讨论和计算。
图论- 《图论导引（原书第2版）典藏版》
《图论导引（原书第2版）典藏版》
作者：道格拉斯·B. 韦斯特
推荐语：图论起源于著名的哥尼斯堡七桥问题，它在计算科学、社会科学和自然科学等各个领域都有广泛应用。本书内容全面，证明与应用实例并举，不仅包括对证明技巧的讨论、1200多道习题、400多幅插图以及许多例题，而且对所有定理都给出了详细完整的证明，可作为本科生或研究生一学期或两学期的图论课程教材。
拓扑- 《拓扑学(原书第2版)》
《拓扑学(原书第2版)》
作者：James R.Munkres
推荐语：本书在美国大学作为教材近20年。系统讲解了拓扑学理论知识，共分两部分，第一部分为一般拓扑学，讲述点集拓扑学的内容，介绍作为核心题材的集合论、拓扑空问、连通性、紧致性以及可数性公理和分离性公理；第二部分为代数拓扑学，讲述与拓扑学核心题材相关的主题，其中包括基本群和覆叠空问及其应用。
本书的特点在于概念引入自然，循序渐进。对于疑难的推理证明，将其分解为简化的步骤，不给读者留下疑惑。此外，书中还提供了大量练习，可以巩固加深学习的效果。严格的论证、清晰的条理、丰富的实例，让深奥的拓扑学变得轻松易学。
随机过程- 《随机过程（原书第2版）》
- 《随机过程基础（原书第2版）》
《随机过程（原书第2版）》
作者：Sheldon M. Ross
推荐语：这本经典的教材已畅销世界30年，被美国的斯坦福大学、哥伦比亚大学以及法国的欧洲工商管理学院(INSEAD)等很多名校用作教材。作者难能可贵地使用富有启发性又非常有趣的直观推导方法，对于只掌握初等概率论及工科高等数学的读者来说，本书是学习应用随机过程的优秀入门书，从本书中既能了解基本内容，又能学到解决问题的方法、思路与技巧。
时间序列分析- 《时间序列分析及应用：R语言（原书第2版）》
- 《时间序列分析及其应用：基于R语言实例（原书第4版）》
- 《应用时间序列分析——R软件陪同 第2版》
- 《多元时间序列分析及金融应用：R语言》
《时间序列分析及应用：R语言（原书第2版）》
作者：Jonathan D. Cryer, Kung-Sik Chan
推荐语：本书以易于理解的方式讲述了时间序列模型及其应用，内容包括趋势、平稳时间序列模型、非平稳时间序列模型、模型识别、参数估计、模型诊断、预测、季节模型、时间序列回归模型、异方差模型、谱分析入门、谱估计和门限模型。对所有的思想和方法，都用真实数据集和模拟数据集进行了说明。
统计学- 《统计学（原书第6版）》
- 《数理统计学导论（原书第7版）》
- 《商务统计学》
《统计学（原书第6版）》
作者：威廉·M.门登霍尔 等
推荐语：本书是统计学方面的一本经典教材，与其他同类教材相比，本书以清晰、简洁的方式介绍了数理统计的基本概念，书中很少涉及统计理论的严格数学证明，绝大部分是与实际应用紧密联系的例子和练习。
本书给出了近250个例题、1000多道练习题，这些例子涉及数、理、化、天文、地理、生物等自然科学以及几乎所有工程技术领域，有助于激发学生的学习兴趣和启发学生利用所学方法解决实际问题。此外，本书附录部分还介绍了SAS、MINITAB、SPSS等统计软件的使用方法。
回归分析- 《统计模型：理论和实践（原书第2版）》
- 《线性回归分析导论（原书第5版）》
- 《例解回归分析（原书第5版）》
《线性回归分析导论（原书第5版）》
作者：道格拉斯 C.蒙哥马利 等
推荐语：本书全面介绍了线性回归分析在当今尖端的科学研究中的传统内容以及不太常见的应用。作者把理论和实践相结合，为读者在各领域（包括工程、管理和健康科学）的研究中应用回归建模技术提供了所需的基本原则。
除了对回归建模的概述，本书还涉及典型的应用和一些技术工具，包括基本的推理过程、模型的适用性检验以及对多项式回归模型的进一步介绍。之后，讨论了如何运用转换和加权最小二乘解决模型的不适用性和观测值的强影响。
金融数学- 《数理金融初步（原书第3版）》
- 《数理金融》
- 《金融数学：基于Excel的商业计算实用教程（原书第3版）》
- 《金融数据分析导论：基于R语言》
- 《金融统计与数理金融：方法、模型及应用》
《数理金融初步（原书第3版）》
作者：Sheldon M. Ross
推荐语：本书基于期权定价全面介绍数理金融学的基本问题，数理推导严密，内容深入浅出，适合受过有限数学训练的专业交易员和高等院校相关专业本科生阅读。本书清晰简洁地阐述了套利、Black-Scholes期权定价公式、效用函数、最优投资组合选择、资本资产定价模型等知识。
第3版在第2版的基础上新增了布朗运动与几何布朗运动、随机序关系、随机动态规划等内容，并且扩展了每一章的习题和参考文献。
数学思维&大众数学读物- 《天才引导的历程：数学中的伟大定理》
- 《数学极客：探索数字、逻辑、计算之美》
- 《优美的数学思维：问题求解与证明（原书第2版）》
《优美的数学思维：问题求解与证明（原书第2版）》
作者：约翰· P.丹吉洛 道格拉斯· B.韦斯特
推荐语：本书以大量生动有趣的问题求解实例为背景，使用通俗易懂的语言，深入浅出地介绍优美的数学思维和严谨的证明方法，所涉及的数学内容不仅包含函数与集合、数学归纳法理论、组合计算与组合证明、整数理论、数理逻辑、图论等离散数学，而且包含微积分与实数理论等连续数学，覆盖了多个不同的数学领域。
本书内容在逻辑上层层展开、环环相扣，形成一套相对完备的知识体系。本书内容丰富有趣，文字表述思路清晰、通俗易懂，实例讲解细致深入，图例直观形象。可以有效地激发学生的学习兴趣，唤醒学生的数学潜能和数学思维。
《天才引导的历程》
作者：William Dunham
推荐语：20多年来一直畅销不衰的名家经典，如散文一样优美、像小说一样生动的数学书！樊登力荐图书！
本书将两千多年的数学发展历程融为十二章内容，每章都包含了三个基本组成部分，即历史背景、人物传记以及在这些“数学杰作”中所表现出的创造性。作者精心挑选了一些杰出的数学家及其所创造的伟大定理，如欧几里得、阿基米德、牛顿和欧拉。而这一个个伟大的定理，不仅串起了历史的年轮，更是串起了数学这门学科所涵盖的各个深邃而不乏实用性的领域。
当然，这不是一本典型的数学教材，而是一本大众读物，它会让热爱数学的人体会到绝处逢生的喜悦，让讨厌数学的人从此爱上数学。
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