图／Alexfrlepr@Pixabay
根据世界卫生组织的统计，全世界的新生儿中，男婴与婴儿总数的比值为0.515。如果我们单看特定区域或特定国家的话，数值的偏差会更大。墨西哥男女比的比值非常低，而美国与加拿大则高于平均值。然而，在这个人口总数超过七十亿的世界，男婴与女婴占比的数值应该要相当接近才是。原因很简单，人类精子带X染色体的数量与带Y染色体的数量相当，因此就概念上来说，它们的机会均等。这是一个公正的抛掷硬币游戏。
别搞混了频率与结果，每次抛硬币结果都和前一次无关抛掷一枚公正的硬币七十亿次后，我们会期望出现正面的机会是一半，但我们是否应当期待看到一百万个连续的正面出现呢？我们可从一台专门抛掷硬币的机器得知，尽管硬币的运行轨迹会受到随机干扰，硬币百分之百都出现正面结果的可能性也的确存在。
抛掷一枚公正的硬币，出现正面的机率是二分之一。从数学理论上来看，我们知道，随着抛掷次数的增加，“出现正面”与“出现反面”这两个事件的比值会愈来愈接近1。以此延伸，可能会误导人相信上一句的意思表示：如果出现一连串的正面，那么之后会出现一连串的反面结果来平衡此现象。
我们很容易陷进这样的谬误中：如果其中一面很久没有出现了，那么它在每一轮抛掷中的出现机会就会增加。尽管我们知道理论上来说，每一次抛掷一枚硬币，出现两种结果的机会都完全一样──硬币出现正面的机会就跟出现反面的机会相同。人们时常会搞混结果与频率之间的差别。
“出现一连串的正面结果”是可能发生的。我就曾看过出现非常多次的连续正面结果。直觉上我们会觉得这事件很离奇，但请这么思考：假设你抛掷一枚硬币十次，出现七次正面的结果，那么正面与反面的比例就是七比三。现在，用普遍受到认可的直觉思维来想的话，接续的十次抛掷，出现反面的次数应该要多于六次，以抗衡先前抛掷的结果──超过期望数字的正面次数。但硬币没有记忆能力，每一次的抛掷都与前一次无关，只有看着抛掷结果的人会记得先前的纪录。没有任何方式可以证明硬币不可能在接下来的五百次抛掷都出现正面，如果可以的话，我们必定会很惊讶。
硬币正面（ 1）与反面（-1）抛掷的累积结果，横轴为总抛掷次数。可以发现与预期不同，硬币似乎会出现长
上图呈现由电脑产生的重复抛掷硬币五百次后的累积结果（每次出现正面时以 1表示，反面以-1表示）。水平线代表0。正面与反面交替领先，“这是一场不分轩轾的竞赛”，你可能会这么想。一般的直觉判断会觉得掷铜板的图应该会以零的基准线为轴，上上下下跳动。然而，最常出现的是这类倾向长时间偏向某一端（上或下）的图。
在硬币抛出去的那一刻，结果就已经决定了
source：frankieleon＠Flickr
理论上的绝对随机与真实、实体世界中的绝对随机并不相同。尽管对于观察这过程的一般人来说，那些一开始在压克力球体中旋转、决定乐透开奖号码的乒乓球，确实给出了无法事先预测的数字，但落进洞口的乒乓球并不是随机产生的。在美式足球开场前，决定由谁开球的抛掷硬币行为也与“随机”差之千里。事实上，掷硬币的结果只是很单纯的物理问题；打造一台抛掷硬币的机器，抛掷任意次数（一千或一百万次），每一次都出现正面结果──这是办得到的。
近来设计用以分析抛掷硬币的实验显示，硬币（甚至是公正的硬币也一样）抛掷的结果会倾向其抛掷前的那一面，而这结果取决于硬币的面以及角动量向量之间的角度。也就是说，硬币在空中的行进轨迹是由它一开始的状态所决定。戴康尼斯（PersiDiaconis）、霍姆斯（SusanHolmes）以及蒙哥马利（RichardMontgomery）打造了一台抛硬币的机器，透过弹簧装置的棘轮来抛射硬币。用这台机器做抛硬币实验，一开始正面朝上的硬币，抛掷的结果总是（百分之百）会正面朝上。这么一来，掷硬币的结果便是固定的，而非随机。只是人们抛掷硬币的手以及周遭环境中形形色色的变数造成的多样性，让结果看起来是随机的。
然而，在硬币于空气中宛如一个缓慢旋转的陀螺仪进动时，我们可能会被这假象矇骗，以为它实际上是抛掷出去的。硬币的飞行方向受到其角动量向量决定，可能使它的抛掷结果永远是正面朝上。所以，一枚一开始就正面朝上的硬币，如果遵循它既定的轨迹，正面与反面的旋转固定，抛掷结果可能永远都是正面朝上。
硬币在空中旋转的状态，常让人误以为落下的结果会是“随机”。但实际上，结果在你抛出去的那一刻，早已被物
连续出现同一面很正常，别太惊讶了如果谈的是会受到千里外轻微的地表颤动、或是太平洋上造成骚动的多事蝴蝶而影响的真实抛硬币事件，情况就不一样了。但“不一样”不意味着合理，也不可测。硬币掉落到地面时，很可能是随机的，但我们人类对于随机性的认知，通常会与我们对于随机结果的预测不一致。因为硬币的每一次抛掷都与先前的结果无关，所以出现连续一百次的正面抛掷结果时，我们理应不该感到惊讶，但我们却往往如此。
上图的现象相当诡异。抛掷结果一直跟预期的差不多，直到第四十五次抛掷，反面结果独领风骚，在接下来的约莫一百零五次抛掷中变得“热门”！然后，进入了一段合理期，频频出现正面结果，使得累积的值接近0。接着在约莫第二百八十六次抛掷时，再度进到出现大量反面结果的阶段。这并不是要说明现实状况往往违反我们的直觉。
在经过规模大上许多、无法实际操作的投掷试验后，正面与反面出现次数的实际比值必然会愈来愈接近1，只是这情况没有在我们的小规模试验中出现罢了。抛掷五百次之后，反面出现的次数只比正面多十二次，这似乎是比较接近的数字了，但是连续的反面与正面结果通常可能造成累积结果出现很大的差异。让我们以下一次的试验为例。
硬币正反面的累积频率与抛掷次数的函数关系。
局面完全倒向正面的结果。累积结果显示，正面几乎在整个试验期间独占鳌头，给人留下“怎么抛掷都不会出现反面”的印象。
大数理论：试验越多次比率越接近
由电脑运算出一百万次抛掷硬币的结果。
上表是拆解抛掷硬币一百万次的结果，这结果是由电脑模拟一百万次硬币抛掷的运算而得。比值k⁄N中的k代表成功的次数，N则代表试验的次数，这个比值称为“观测成功比值”（observedsuccessratio）。而最右边栏列出的是“观测成功比值”与“数学预估的成功比值──1/2”之间差异的绝对值。
弱大数法则并没有排除任何不太可能发生的事件常常出现的可能性，事实上，就算观测成功比值与数学算出的预测成功比很接近，不保证接下来的试验也会保持这么接近的状态。更为周延一点的数学结果也说明，尽管成功比值很可能朝着数学预测的数收敛，实际的成功值会随着事件数的增加而发散。这与我们的直觉相违背，但事实却真的是这样。
在任何成功机率为p的事件中套用弱大数法则，我们可以得知│k/N–p│<ε的机率会随着N增大而愈来愈接近1。假设ε＝0.0001（任意选定的），抛掷硬币的p=1/2，请问│k/N–1/2│小于0.0001的可能性会有多大？请注意（见上表），│k/N–1/2│在N的值很小的时候是跳动而非递进的，而N的值变大时也一样。从100,000到200,000，│k/N–1/2│的值是增加的，即便是从800,000到900,000也是增加的，但在抛掷次数（N）为一百万次时，│k/N–1/2│的值反而减少。我们误以为正面和反面的出现次数应该会逐渐接近0，但这试验显示，增加试验的次数并不会使波动性变得更小。如我们所见，随着抛掷次数的增加，波动性也变大了。
所以，结论是什么呢？看起来N值愈高就愈不受大数法则约束，因为在难以计量的大数中，有更多让难察觉的误差存在的空间。
由前一张图表衍伸的细节。
5,000次的抛掷中，正面出现2,561次，反面出现2,439次，两者之间的差距是122次。百分之2.4的误差，看起来不算太差劲。但在不知道这些正面的分配的情况下，是可能连续出现122次正面的抛掷结果的。从这观点来思考，想像在67,500次抛掷中，也可能连续掷出758次反面，或者在82,500次抛掷中，连续掷出694次正面。也就是说，没有哪个数学法则能够在N很大的情况下，排除连续出现相当多次正面的机率。
,
