- 家丑
权力已达巅峰的埃及之王托勒密一世发现自己也不是无所不能的，在几何学的学习上他就感到了一些吃力，于是他把一位老人叫到了他的面前，他问道几何学有没有一些简单的学习方法，老人傲然答道：“数学无王者之道”。
面对如此倨傲的老人，托勒密也无可奈何，因为这位老人才是真正的王者，和老人比起来，他这个俗世之王只能是微不足道了。
这位老人就是欧几里得。
在欧几里得之前，人们已经很多的几何知识，不过这些几何知识都是零散的碎片化的，欧几里得打算把这些知识系统化，经过多年总结整理，在公元前300年左右，欧几里得终于完成了巨著《几何原本》，其实《几何原本》这个名字还是一个错误的翻译，这是利玛窦和徐光启在翻译的时候替欧几里得谦虚了一下，欧几里得最初命名就是《原本》，欧几里得认为他的著作就是宇宙的基础整理，可以想见这位几何之王的狂妄。
欧几里得确实值得这么狂妄，首先直到现在《几何原本》还是各国中学教材，我们大部分人知道的几何知识都来自于欧几里得，这还不是最重要的。
欧几里得还创造了一种新的科学方法，这就是“公理化”。
“公理化”思想就是用一条或者几条不证自明的公理来推导出整个科学大厦，这个方法是一切科学的基础，譬如牛顿就用绝对时空的概念推导出来了整个牛顿力学，不过这种方法也有一个很大的缺点，要是最初的公理被证明是错的，那么大厦也会一夜崩塌，就是两朵小乌云动摇了整个牛顿力学的基石。
这对于几何学同样成立。
我们先来看看欧几里得几何的基石。
1. 任意两个点可以通过一条直线连接。
2. 任意线段能无限延伸成一条直线。
3. 给定任意线段，可以以其一个端点作为圆心，该线段作为半径作一个圆。
4. 所有直角都全等。
5. 若两条直线都与第三条直线相交，并且在同一边的内角之和小于两个直角，则这两条直线在这一边必定相交
这就是欧几里得的五条公设。
我们都遇到过一类考题，就是挑出其中不属于同一类的选项，现在看看这五条公设，是不是有一条很别扭，这就是第五条公设也叫做平行公设。
对于其它四条公设来说，都非常简洁，而第五条平行公设则很繁琐，本来就是一个“两直线平行同旁内角互补”，为什么睿智的欧几里得一定要说这么啰嗦呢？
莫非他觉得这条公设有问题？也真有可能，欧几里得本人对第五公设也有点排斥，直到卷一的命题29，他才不得不使用了第五公设。
其实不止欧几里得，对于第五公设数学家们也不喜欢，这是由于第五公设中引入了无限的概念，我们知道只要出现无限就一定会出现问题，古希腊那些悖论什么飞矢不动阿喀琉斯追不上乌龟了，都是涉及到了无限小，现在欧几里得又说到了无限大，肯定也会有问题，因此第五公设被数学家们成为“几何的家丑”。
既然是家丑，当然不能靠遮盖混过去，有了家丑，想方设法地去消除才是正确的办法，那么谁来消除几何学的家丑呢？当然是几何学中的哥白尼了。
2.几何学中的哥白尼
几何学中的哥白尼就是罗巴切夫斯基。
听名字就知道这是一个俄罗斯人，这就注定了他命运的坎坷，俄罗斯从来不缺少伟大的科学家，可是这个国家总会费尽心机地去为难自己的天才，对化学家罗蒙诺索夫如是，对数学家罗巴切夫斯基亦如是。
罗巴切夫斯基出生在俄罗斯偏远的马卡里耶夫城，七岁上他的父亲就去世了，只有寡母带着他们兄弟三人艰难度日，所幸的是他们兄弟三人都很聪明，不过这对于一个贫寒的家庭来说，这好像是一个更大的不幸，总不能兄弟三人抓阄决定谁去读书吧，就算抓阄也不行，他们所在的偏远小城连中学都没有，要想读书，只能背井离乡去喀山。
这位伟大的母亲为了孩子毫不犹豫地踏上了去喀山的路程，兄弟三人也没有辜负母亲的希望，都考上了喀山的公费生，几年之后，14岁的罗巴切夫斯基进入了喀山大学。
在喀山大学，罗巴切夫斯基遇到了巴斯特，这个巴斯特可不简单，他是数学王子高斯的好友，当年高斯解出来1 2 3 …… 100等于多少这道题的时候，巴斯特就在高斯身边，不过他可不是高斯的同学，他是高斯的小学老师，这听起来有些不可思议，高斯的小学老师居然成为了罗巴切夫斯基的大学老师，既然能和高斯成为好朋友，他的数学水平当然不会寻常。
遇到了这样的好老师，罗巴切夫斯基自然是发奋学习，还不到19岁就拿到了硕士学位。出现了这样的少年才俊，任何一个学校都会举杯庆祝一下，何况是喀山大学这所刚刚成立的学校，可是在俄罗斯不是，喀山大学的校长不愿意授予他学位，理由就是他太小了，这就是俄罗斯对自己天才的态度，所幸俄罗斯还有正义的人们，教授们集体反对校长的决定，校长不得不授予了他学位。
1816年，罗巴切夫斯基成为了喀山大学的教授，不止是教数学，他还要教授天文学和物理，这倒无所谓，多劳多得嘛，只要多给钱，就是连化学也教了也可以呀，可是校长只给一份工资，不过罗巴切夫斯基并不在乎，子曾经曰过诲人不倦嘛。可是校长却是毁人不倦，看罗巴切夫斯基教了这么多课程还精神抖擞，校长又把图书馆和博物馆的工作也交给了他，当然了没有加钱，就是生产队的驴也不能这么使唤呀，可是罗巴切夫斯基还是不在乎，在结束一天繁忙的工作之后，他居然还有时间研究第五公设。
罗巴切夫斯基决定采用一种新方法来解决这个家丑，那就是反证法。
经过简化的第五公设可以这么表达：经过直线外一点，只能有一条直线和直线平行，那么反过来只要证明过直线外一点，有两条或者两条以上直线和直线平行就可以证明第五公设有问题了。
来看一下罗巴切夫斯基的证明过程吧。
首先给定一条直线a和直线外一点B，从B点引直线a的垂线BC，只要存在两条或者两条以上通过B且不与a相交的直线就可以证明第五公设有问题，还是看图吧。
从图上可以看出，这何止是两条呀，简直就是无数条，罗巴切夫斯基就这样证明了第五公设不正确。
注意一点呀，只是第五公设不正确，和第五公设无关的欧式几何还是没问题的,由于罗巴切夫斯基的几回合不是欧几里得几何，所以就叫做非欧几何。
罗巴切夫斯基公布了自己的论文后，他的同事们表示了沉默，罗巴切夫斯基明白沉默并不是认可，而是对他为人的尊重，他要的并不是尊重，而是认可。
罗巴切夫斯基把自己的论文整理一番，发表在了《喀山大学学报》上，这还是出于对他的尊重，因为这时候他已经是校长了。
在他的强烈要求下，学校把论文送到了彼得堡科学院，科学院没有必要再对他抱以尊重，用极其严厉的语气对他进行了批评，这些还无所谓，毕竟只是科学内部之争，在科学之外，也引来了无数的恶意中伤。
有人匿名在俄罗斯杂志《祖国之子》上指明对他进行人身攻击，这就相当于在后来的《真理报》上诋毁，可罗巴切夫斯基撰文反驳的时候，《祖国之子》的编辑却以维护杂志声誉的名字不予发表，现在可以看出来吧，俄罗斯对自己天才的态度不仅仅是某个人，而是制度性的。
仅仅是声誉之争也还就算了，毕竟天才和凡人本来就生活在两个世界，可是俄罗斯觉得对自己天才的摧残程度还不够，俄罗斯教育部又出手了。
俄罗斯大学委员会有一个规定，就是教授任期不得超过三十年，这本来是一个奖掖后进避免出现学阀的一个好制度，可是不管多么好的制度也要有好人才行。
1846年，罗巴切夫斯基教授任期已满，他向教育部提出免去他教研室的职务，可教育部早就看他不顺眼了，这下终于抓住了机会，教育部借此免去了他所有的职务，并迫使他离开大学。
即便如此，罗巴切夫斯基也没有丧失他的斗志，他开始用德文法文写文章，期望俄罗斯之外的声音的支持，可是他听到期望的声音，反而引来了噪音，歌德这位伟大的诗人也来凑热闹吐槽他，歌德在《浮士德》中对他的研究冷嘲热讽。
为什么罗巴切夫斯基遭到了如此的待遇，还是由于他的研究有点惊世骇俗。
欧几里得几何之所以得到人们的推崇，是由于欧式几何更符合人们的日常所见，在罗巴切夫斯基看来，不但平行线有无数条，而且三角形的内角和也小于180°，还有根本就不存在相似多边形，过不在同一条直线的三个点不一定能做一个圆，而这些都是我们眼睛看到的常识，罗巴切夫斯基违背了这些常识，自然会遭到人们的反对。
这就象当年的哥白尼一样。
每天太阳东升西落，我们就很自然地认为日月星辰在围绕着地球转动，地球自然就是宇宙的核心，这就是地心说，可哥白尼认为满天星辰包括地球都在围绕着太阳旋转，这违背了人们的常识，肯定会遭到人们的反对，也因此哥白尼在临死前才出版了自己的著作，即便是这样，哥白尼还是遭到了众多非议。
可是真理的光辉是遮挡不住的，在开普勒伽利略的努力下，人们终于意识到了自己的局限，承认了哥白尼的成就。
1868年，意大利数学家贝特拉米发表了论文《非欧几何解释的尝试》，证明非欧几何可以在欧几里得空间的曲面上实现。这就把非欧几何和欧式几何等价起来，要是欧式几何正确，那么非欧几何也正确。
非欧几何才开始获得学术界的普遍注意和深入研究，对罗巴切夫斯基的赞誉也铺天盖地接踵而来，人们称他为“几何学中的哥白尼”，而此时，罗巴切夫斯基已经去世十二年了。
哥白尼为了避免人世间的纷扰采取了去世前才出版著作的办法，那么罗巴切夫斯基有没有办法改变自己的命运呢？
办法还是有的，他只要得到一个声音的支持就可以了。
3.怯懦的数学王子
罗巴切夫斯基一直期盼的来自俄罗斯之外的声音就是数学上的神。
要说科学史上谁最酷，当然是数学王子高斯。
都说是三岁看大，小高斯在三岁上就看出了父亲账目上的错误，这说明高斯长大后一定和数字相关，不过不一定是数学家，没准是个会计呢，那就七岁看老吧，高斯在八岁上就自己总结出来了等差数列的求和公式，就是那个1 2 3 4 5 …… 100等于多少的问题，虽然说晚了一年，不过高斯已经命中注定当数学家了。
19岁上，高斯就证明了尺规作图可以做出正十七边形，这可是当年欧几里得和牛顿都没有解决的问题，对于高斯来说这只是一个课后作业，他只用了一个晚上就解决了。
觉得很神奇了吧，还不够呀。
看看作为天文学家的高斯吧
意大利神父皮亚齐观察到了一颗特殊的星星，既不是恒星也不是卫星，这是人类发现的太阳系的第一颗小行星，不过他仅仅是发现，并没有计算出轨道，高斯只用了一个小时就计算出来了小行星的轨道，因为他用了他18岁上发现的最小二分法。
再来看看物理学家高斯。
我们都知道麦克斯韦方程被誉为最美的方程，仅用四个方程就描述了电磁世界，其中第一个方程就是高斯发现的高斯定律，可是作为数学家的高斯为什么自己没有推导出电磁方程呢？这是由于他的好友是韦伯，韦伯一直坚持以太说，而麦克斯韦亦师亦友的是法拉第，就是法拉第创造性地提出了场的概念，要是高斯接触到了法拉第的场的话，说不定某个下午就推导出来了麦克斯韦方程了，也不用麦克斯韦十年苦读了，当然那也就不叫麦克斯韦方程了，应该叫高斯方程。
数学对于别人来说可能是殚精竭虑夜不能寐，对于高斯来说，可能就是夏日午后的一时灵感爆发，这就跟贾岛写诗是“两句三年得，一吟双泪流”而诗仙却是“斗酒诗百篇”一样，人和人的差别就是这么大。
这么牛的高斯，他有没有感到第五公设有问题呢？当然感受到了，他早在十五岁上就感到了，不过他并没有公布，为什么不公布呢？因为他只想做一个快乐的小王子。
想一想王和王子的区别吧，看看朱元璋，虽然说也是皇帝，可起得比鸡早睡得比狗晚干的比驴多，以致于发出了“百僚未起朕先起，百僚已睡朕未睡，不如江南富足翁，日高丈五犹披被”的慨叹。
看得出当王不容易了吧，这个例子不太恰当，还是看看科学上的王吧。
牛顿爵爷绝对是科学上的王，可这一辈子都没有消停过，先是怼胡克，怼完胡克又来了莱布尼茨的挑战，一辈子不是在撕逼就是在撕逼的路上，这一辈子忙的呀连个老婆都没有混上。
王子就不同了，可以和王一样纵享人间繁华，不一样的是王子可以一直快快乐乐，没事就四处游玩，还能顺便带个公主回来。
要是数学王子呢，那就是一直出于人们的赞颂之中，而不必承担各种各样的争吵，高斯就选择了这一条路，对于可以有争议的想法他从来不发表，这样他就可以当一个快乐的小王子了。
高斯对于一些想法虽然不发表，不过也都偷偷摸摸地写在笔记里了，这造成了非常不好的影响，以至于后来的数学家们有了什么新想法，都得先去翻一翻高斯的笔记本，别自己冥思苦想出来的东西早就被祖师爷解决了，这也太没面子了。不过这是对后世的数学家来说，当时的数学家可不知道高斯的这个爱好。
高斯的大侄子波尔约就栽在了叔叔手里。
波尔约的父亲老波尔约是高斯最好的朋友，他也是第一个意识到高斯的伟大的人，当初高斯的母亲就问过她，高斯到底怎么样？他告诉高斯的母亲，高斯未来会是欧洲最伟大的科学家。
波尔约就对第五公设提出了疑义，看儿子这么有出息，老波尔约当然高兴，不过觉得儿子玩得有点大，他决定还是让高斯把把关。
高斯看到大侄子的论文非常开心，他说论文很好，不过不能过多赞誉，因为这和他的想法不谋而合了，这当然是高斯的谦虚，也是对后辈的勉励，可是波尔约却误会了，他以为这是叔叔高斯要抢他的发明权，这也难怪呀，数学史上也不是没这时，为了微积分的发明权牛顿和莱布尼茨都吵翻天了，可是他俩吵是由于俩人水平旗鼓相当，想一想自己和高斯的差距，波尔约顿觉心情沮丧，从此偃旗息鼓，再也没有涉足第五公设。
连自己的大侄子高斯都不站出来支持，更何况是素不相识的罗巴切夫斯基了，不过高斯还是力所能及地帮了罗巴切夫斯基。
高斯看到了罗巴切夫斯基用德文写的非欧几何著作，私下里就称他为“俄罗斯最卓越的数学家”，这对于高斯来说已经是非常高的评价了，并下决心开始学习俄语，打算开始阅读罗巴切夫斯基其它的著作，为什么他不要求罗巴切夫斯基用德文多写几部呢，莫非高斯也感到了掌握一门外语的重要性，当然不是。
因为高斯的所有评价都是私下的，要是他要求罗巴切夫斯基用德文多写两部，这就意味着他承认了罗巴切夫斯基的研究，这是高斯不想做的，不但这样，他还不准朋友向外界泄露他对非欧几何的看法。
单单这样的支持是没有用的，高斯又积极推选罗巴切夫斯基担任哥廷根皇家科学院的通讯院士，可是在他的亲笔推荐书中他只字未提罗巴切夫斯基在非欧几何上的贡献，因为这样又会暴露他对非欧几何的支持。
由于高斯所有的支持都没有公开过，他所有的支持的作用也近乎为零。
高斯不对非欧几何发表看法仅仅是由于他不想争吵吗？有没有一种可能是高斯其实对非欧几何也不太了解？
当然不可能。
17岁时高斯就说过“曲面三角形的外角和不等于360°”，我们知道三角形的外角等于不相邻的两个内角的和，这就是说三角形的内角和不等于180°，这就是罗巴切夫斯基所说的非欧几何的内容。
可是高斯说的是曲面三角形呀，欧几里得人家说的是平面呀。
盲生，你发现华点了！
欧几里得最大的错误就是书名起错了，书名叫做《原理》好像是全宇宙真理一样，就算后来利玛窦和徐光启改成了《几何原理》也没有改对，应该叫《平面几何原理》才对，在欧几里得看来，世界就是一个大平面，而实际上这个平面是不存在的。
平面的观点是古希腊哲学中根深蒂固的一贯观点，后来都影响到了牛顿，牛顿力学的基本假设就是存在一个静止的时空，这个静止的时空就可以理解为这个大平面。
其实欧几里得也已经感觉到了这个平面有些问题，他在第五公设中使用了无限这个词，问题就是只有曲面没有平面，即便是看起来像是平面的形状也是曲面在小尺度下的近似。
还是先来看看高斯的观点吧。
1827年，高斯在论文《关于曲面的一般研究》的基础上，发展了内蕴几何。
先说一下什么是内蕴几何。
内蕴几何是相对于外嵌几何来说的，外嵌几何就是以上帝的角度来看待几何，在上帝看来地球就是一个球体，内蕴几何就是从人的角度来看几何，在上帝看来地球就是一个球体，在人看来地球就是一个平面，注意是看，不是知道，那时候人们确实知道地球是一个球体，但不是看到的，是想到的。内蕴几何就是人借用上帝大地眼睛去看世界。
换个说法吧，我们看一个篮球就是曲面球体，而篮球上的一只蚂蚁看来篮球就是一个平面，同理，蚂蚁看到的一段直线在我们看来就是一段弧线。
其实欧几里得说的直线应该叫做测地线，几何学的含义就是测量大地的学问，这就是说几何学的基础就在测量大地上，测地线就是在地面上一点到另一点的距离，我们知道我们居住的大地是球形的，这样看来的话，欧几里得所谓的直线也是曲线。
依照高斯的观点，罗巴切夫斯基的非欧几何就是在曲面上的几何学，我们还是来看一张图吧。
这就是罗巴切夫斯基的非欧几何，这可以看出来，曲面上三角形的内角和小于180°，通过直线外一点的平行线也不止一条，因为这是一个双曲曲面上，因此罗巴切夫斯基的非欧几何也叫做双曲几何。
高斯不但在理论上阐述了这个问题，他还做了实验。
在1818年到1826年期间，高斯主导了汉诺威公国的大地测量工作，他曾经测量三个山峰组成的三角形的内角和，在高斯看来，只要三角形足够大，那么就接近曲面，只要就可以找到三角形内角和不等于180°的证据，可由于当时测量工具的精度不够，他并没有得到这个结论，这也使得他更不能轻易发表证据的看法了。
不管怎么说，罗巴切夫斯基已经拿到了非欧几何的首创权，毕竟他遇到的是高斯而不是牛顿，在几何上，要说欧几里得就好像托勒密一样，那么罗巴切夫斯基就是当之无愧的哥白尼，不过也仅仅是哥白尼。
罗巴切夫斯基推翻了欧几里得，就像哥白尼用日心说推翻了托勒密的地心说一样，可是日心说并不是最终的真理，之后还有伽利略和牛顿，罗巴切夫斯基也并不是终点。
那么由谁来开启新的征程呢？
4.黎曼出世
1826年，高斯还在汉诺威公国的大地上忙碌的时候，一个婴儿降生在这片土地上，他就是命中注定要接过高斯旗帜的黎曼。
在跨入大学前，黎曼并没有感受到命运的感召，他以一个神学系学生的身份走进了哥廷根大学，但命运的力量是不可抗拒的，黎曼偶尔听了一场年近古稀的高斯的数学讲座，就是这场讲座，让黎曼闯进了数学王国。
获得博士学位后，黎曼需要做一个演讲来获得教职，他准备了三个题目，可到底讲哪个有点难以取舍，他去向高斯请教，高斯一眼就相中了几何基础。
对于这个题目，黎曼仅仅准备了两个月，他自己也并没有多少把握，可是既然都相中了，那么就一定有他的道理。
黎曼的演讲就是《论作为几何基础的假设》，他的演讲并没有语惊四座，据说只有高斯才听懂了他在说什么，不过已经足以让所有人大吃一惊，黎曼说根本就没有平行线。
还是用球来打个比方吧。这次用地球。
在地球上我们看来经线都是平行的，可经线最终都要交汇于南北极，这哪里还有什么平行线呢？可是经线不是直线呀，谁说经线不是直线呀，欧几里得的直线就是测地线，经线本来就是测地线呀，要是我们穿过地球做一条直线呢，那你怎么知道宇宙空间是什么样的呀，没准也是个球呢。
在说黎曼的理论之前，还是先来看一下高斯的想法，毕竟只有他听得懂嘛，我们要想听懂，也得先复习一下高斯的想法。
在平面上，我们知道如何测量一段直线的距离，用公式表示就是：
ds2 = dx2 dy2
其实就是欧几里得几何中的勾股定理。
那么在曲面上的弧长公式呢，高斯给出了公式：
ds2 = E du2 2F dudv G dv2
E、F、G都是系数，和曲面上点的性质有关，u就是横坐标，v就是纵坐标。
要是在平面上，这个公式就可以又变回了勾股定理，还是ds2 = dx2 dy2
高斯所说的这一切都还在二维平面中，黎曼把高斯的二维平面扩展到了n维平面，黎曼称之为黎曼流形，还用黎曼度规表达出来了高斯弧长公式中的E、F、G
不难看出这就是高斯弧长公式在n维流形中的表达式，其中gij（p）就是p点的黎曼度规，黎曼度规随p的变化而变化，这种随空间的点变化的物理量是什么呀？当然就是场。在法拉第1837年提出电场磁场的概念17年后，黎曼给出了场的数学描述。
用黎曼度规表示后，弧长公式就变成了这样。
式中的α就是是二维曲面的高斯曲率。
当α=-1，三角形的内角和小于180o，这就是罗巴切夫斯基的双曲几何。
当α=0，三角形的内角和等于180°，这就是通常的欧几里得平面几何。
当α=1，三角形内角和大于180°，这就是球面几何。
如果说罗巴切夫斯基的非欧几何撕开了欧几里得几何的一个角的话，黎曼几何就完全颠覆了欧几里得。
现在可以看出来吧，欧几里得几何就是黎曼几何的一种特殊形式，只是在二维的小空间内适用，这句话是不是听起来有点熟悉呀？好像物理上也有这句话，物理上是这么说的，牛顿力学只是相对论力学在低速宏观情况下的近似，这么看来，黎曼几何是不是和相对论有关系呢？当然有关系，要是没有黎曼几何的话，也就没有相对论了。
- “懒家伙”爱因斯坦
1905年，爱因斯坦写了五篇论文，四篇可以获得诺贝尔奖，其中的光电效应那一篇论文还真获得了诺贝尔奖，就是生产队的驴也不能这么使唤呀，都这样干活了，怎么他还是“懒家伙”呢？
说这句话的人是爱因斯坦的老师闵可夫斯基。这个名字听起来好像是罗巴切夫斯基的老乡，其实他是正宗的德国人，和俄国也算有点关系，他出生在俄罗斯，他是希尔伯特的好友，希尔伯特在1900年的那场著名的关于数学的演讲就是出于他的建议，他还有一个身份就是爱因斯坦的大学老师。
现在人们都知道了爱因斯坦小时候做小椅子的传说是假的了，而且爱因斯坦从小到大都是老师们青睐的好学生，可闵可夫斯基怎么就看他不顺眼呢。
这是由于爱因斯坦经常逃他的数学课，爱因斯坦逃课当然不是因为老师讲的不好，这一方面是爱神觉得物理用不了那么多数学，浅尝即止就可以了，另一方面是爱神有一个好老婆和一根好基友，好老婆是米列娃，好基友是格林斯曼，这俩都是学霸，平时爱神看看老婆和基友的笔记也就能混个及格了，至于上不上课倒是没多大必要。
可是爱因斯坦真的错了。
狭义相对论的时候，还用不着太高深的数学知识，就算用得着也无所谓，不是有老婆嘛，一些繁琐的计算确实是米列娃完成的。
可到了广义相对论，爱神就傻眼了，他发现他的数学知识不够用，要想继续发展下去，只能二次学艺，可这时候他的老师闵可夫斯基已经去世了。
老师是永远不会记恨学生的。看到爱因斯坦的论文后，闵可夫斯基也没有想到这个“懒家伙”会有这么大成就，震惊之余，还是打算帮一下这个“懒家伙”，毕竟是亲学生嘛，闵可夫斯基去世之前，就给狭义相对论打下了坚实的数学基础，这就是闵可夫斯基空间。
闵可夫斯基空间说的就是四维时空。
我们生活的空间有长宽高三个维度，再加上时间就是四维时空。
在二维空间中，我们确定一个点的位置，使用的是勾股定理，用公式表示就是：ds2 = dx2 dy2 ，在三维空间中，公式就变成了ds2 = dx2 dy2 dz2。
到了四维空间，要想确定一个点的位置，就需要考虑时间了，闵可夫斯基就把公式变成了这样：dt2 =dt2 - dx2 - dy2 - dz2，。
注意到公式中的负号了吗？就是这个负号产生了双生子佯谬祖父悖论一系列匪夷所思的相对论现象。
没有了老师的教导，爱因斯坦并没有停下前进的脚步，在老师指引的方向上，他开始和好基友格林斯曼死磕黎曼几何，终于在1915年险胜希尔伯特，取得了广义相对论的首创权。
在广义相对论的框架下，我们终于看到了宇宙的真相。
宇宙并不是平坦的欧几里得空间，而是扭曲的黎曼几何，在这种宇宙观下，确实是没有直线的。
光为什么在会在大质量的星体附近拐弯，并不是星球的吸引，而是大质量的星体扭曲了周围的时空，光只能沿着时空的短程线（也就是欧几里得所说的测地线）运动，看起来就像是拐弯了，这就是约翰.惠勒所说的“物体告诉时空如何弯曲，时空告诉物体如何运动”。宇宙从物理的变成了几何的。
闵可夫斯基认为：数学的研究将引导物理，而理论物理则可看做是数学物理的分支。听起来这话有些偏颇，却也不无道理。
1826年，罗巴切夫斯基这位“几何学的哥白尼”吹响了非欧几何的号角， 1915爱因斯坦创立了广义相对论，数学比物理学要提前了89年，这个时候，罗巴切夫斯基已经去世59年，要是有另一个时空的后，一生挫折的他一定会发出爽朗的笑声。
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