计数问题是生活中常见的问题，在计数时，必须注意每个元素有且仅有一次记录，既没有重复，也没有遗漏。一般情况下，我们会将所有元素全部计数一遍，之后再减去重复计数的部分，这就是容斥原理。
容斥原理的核心公式：
1、A∪B = A B- A∩B
2、A∪B∪C = A B C - A∩B - B∩C - C∩A A∩B∩C
通俗的来说：
1、两集合条件下：元素总数=满足集合1的个数 满足集合2的个数-都满足的个数
2、三集合条件下：元素总数=满足集合1的个数 满足集合2的个数 满足集合3的个数-同时满足集合1、2的个数-同时满足集合2、3的个数-同时满足集合1、3的个数 同时满足集合1、2、3的个数
公式看起来十分的生涩，下面找几个例题练习一下吧。
1、园丁小王负责给甲、乙、丙三个暖房浇水。已知甲、乙、丙三个暖房分别需要每隔2、4、7天浇水一次。小王在2019年1月1日给三个暖房都浇过水了，问他在整个1月份不需要浇水的天数有几天？
分析：由于1月份共31天，数量不大，可以采取笨办法穷举法，如下图所示。
从上表可知不需要浇水的天数为14天。不过这是一个典型的甲、乙、丙的三集合的容斥原理问题。需要浇水的天数=每隔2天需要浇水的甲暖房天数 每隔4天需要浇水的乙暖房的天数 每隔7天需要浇水的丙暖房的天数-同时给甲、乙浇水的天数-同时给甲、丙浇水的天数-同时给乙、丙浇水的天数 同时给甲、乙、丙浇水的天数=11 7 4-3-2-1 1=17天。因此不需要浇水的天数为31-17=14天。
2、外语学院某年级的135人中，同时会英语和法语的有31人，同时会英语和德语的有37人，同时会法语和德语的有16人，已知一部分人同时会三种语言，而另一部分只会其中一种语言。请问至少有多少人只会一种语言？
分析：同样是一个三集合的容斥原理问题，但是题目中只知道元素总数和同时符合两集合的数量，但是只满足一个集合的元素数量和同时满足三集合元素数量未知。假设有m人只会一种语言，n人三种语言都会语言，关系见下图：
我们可得：135=m 31 37 16-2n，这里之所以减去2倍的n，是因为之前的（m 31 37 16）把三种语言都会的n重复加了3次，因此之后要减去2次。整理不定方程式得：m=51 2n，要使m最小，n应取最小值，已知“一部分人同时会三种语言”，因此n最小取1，此时m=53，因此至少53人只会一种语言。
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