一般地，若整数b除以非零整数a，商为整数，且余数为零， 我们就说b能被a整除（或说a能整除b），
记为：a|b（"|"是整除符号），读作"a整除b"或"b能被a整除"
一、我们先看几个基本的性质
1、 若a|b，a|c，则a| (b±c)
- 运用除法与分数的关系解释
- 通俗地讲，如果两个数能被同一个数整除，那么它们的和、差也能被这个数整除（积当然也可以）
2、 若a|b，b|c，则a|c
- 通俗地讲就是一个数倍数的倍数是它的倍数。
3、 若a|bc，且(a,c)= 1，则a|b
4、 a|b，c|b，且a、c互质（a,c）=1，则bc|a
这个性质可以推广到多个两两互质的数的情况，非常有用；
例：2、3、5两两互质，如果一个数m能同时被这三个数整除，那么m能被30整除；
二、结合位值原理常见数的整除特征归纳说明
1、个位上是0、2、4、6、8的整数都能被2整除。
2、 个位上是0或者5的整数都能被5整除(方法同上)。
3、 若一个整数各位数字之和能被3（或9）整除，则这个整数能被3（或9）整除。（3与9判断方法一样）
请注意：从这里我们也可以得出一个整数除以9的余数等于它各数字之和除以9的余数。
4、 若一个整数末两位数能被4(或25)整除，则这个数能被4(或25)整除。（方法同2，找整百）；
5、若一个整数末三位数能被8(或125)整除，则这个数能被8(或125)整除。（方法同2，找整千）；
6、 若一个整数末四位数能被16(或625)整除，则这个数能被16(或625)整除。（方法同2，找整万）；
7、 一个三位以上的整数能否被7（或11、13）整除，从右往左三位断开，奇数段与偶数段分别相加再作差（以大减小）能否被7（或11、13）整除 ，（右往左－三位断－奇偶分组－求和－再作差）；
8、 一个整数的奇数位数字和与偶数位数字和的差（大-小）如果是11的倍数,那么这个整数也是11的倍数(比上面方法简单一点点)；
9、判断一个整数能否被99、999、9999....整除，可以“从右往左”按照两位、三位、四位断开再求和。
- 其实所有关于“9”的整除原理都一样
10、若一个质数能整除两个自然数的乘积，那么这个质数至少能整除这两个自然数中的一个；
11、 特别地：1与0的特性
1是任何整数的因数，即对于任何整数a，总有1|a.
0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.
三、关键
数的整除概念、性质及特征为我们解决一些实际问题带来了很大方便，应用广泛。需要在理解其来源的基础上掌握。
我们可以用上面的性质去判断能否被给定的数整除，反过来也可以用相关的性质去解决问题，比如结合平方数我们以前提到过的"n² 2"一定不是5的倍数。
四、经典例题
[例1]已知七位数" 1287xy6" 是72的倍数，求出所有符合条件的七位数（江苏竞赛题）
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因为72＝8*9(8、9互质)
所以只需满足七位数能同时被8、9整除即可
如果先从8入手是考虑三位情况较多，所以从9入手
例2、已知a、b是正整（a>b）对于如下两个结论：①在a b、ab、a-b这三个数中必有2的倍数，②a b、ab、a-b必有三的倍数，其中正确的是（ ）
A 都正确 ，B 都不正确；
C只有①正确 ， D 只有②正确；
[思路导航]因为数字不确定，但可以结合奇偶性及余数的情况进行"分类讨论"得出结果，注意利用倍数与因数的关系。
[例3]如果把1－1997这1997个自然数依次写下来，我们可以得一个多位数12345678910111213…1994199519961997，试求这个多位数除以9的余数。
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根据前面推导能被9整除的数的特征我们知道：
"一个自然数除以9的余数，等于这个自然数各个数位上数字和除以9的余数"
所以求这个多位数除以9的余数问题，可以先转化为求1至1997这1997个自然数中所有数字之和是多少，然后就很好解决了
方法一：因为1至9这9个数字之和为45
所以10至19，20至29……90至99
这十个组的各位数位上的数字和分别为：
45 10，45 20……45 90。
所以：1至99这99个自然数各位数字之和为：
45 55 65 … 125 135=900
同理可得
1至999这999个自然数各位上数字之和为：
900 1000 … 1700 1800=13500
同理可得
1000至1999这1000个自然数各数位上的数字和为
13500 1000=14500
则1至1999这1999个自然数各数位的数字和为：
13500 14500=28000。
1998、1999这两个数各数位上的数字和为：27、28。
28000－27－28=27945，
9能整除27945
所以多位数除以9余0
方法二：
将1至1996这1996个自然数配成如下的998组：
（1，1996），（2，1995），……
每组两数之和为1997
998组所有数字之和等于：
（1 9 9 7）×998=25948
25948 1997＝27945
所以多位数除以9余0
方法三：根据整特性
由任意连续9个自然数所组成的多位数，
一定能被9整除；
而从1至1997一共有1997个数；
从1开始按9个一组分；
1997÷9=221(组)……8(个)；
1990、1991、1992、1993、1994、1995、1996、1997；
我们看这8个数所有数位上的数字和为：
19 20 21 22 23 24 25 26=180；
180能被9整除，所以多位数除以9余0。
（因为任意连续的9个自然数的各数位上的数字和除以9的余数，必定是0，1，2…，7，8这9个数，而这9个数的和为36，36能被9整除，所以任意依次写出的9个连续自然数组成的多位数一定能被9整除。）
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