今天跟各位小伙伴们要介绍的是物理学的最小作用量原理。可能大家看到标题的时候会发出会心的微笑吧，心里一定是在想：这个老郭头是不是没事干了，吃饱了撑的，念了那么多年书，你瞅瞅，这研究的都是些什么事啊。其实不然，扔个包子出去，狗跑直线这个现象蕴含了非常深刻的物理学理论：最小作用量原理。
图1 狗撵包子走直线
只要我们留意，我们在生活中随处都可以发现类似的极值现象，比如水总是往低处流、一根两端悬挂起来的线会自然弯成一道弧线，太空中的星体和水滴都不约而同地选择球体这个形状。骨头、羽毛、植物的茎、蜂巢、蚂蚁窝的构造，都是最符合自身的目的，又是最节省原材料的。这些自然现象的背后，就是最小作用量原理。
图2 太空中的水滴是个完美的球形
最小作用量原理的演变过程最小作用量原理从一开始的朦胧、模糊的观念到定量化的具有完美数学表达式的物理学基本原理，经历了漫长的发展演变过程。其最早的原始思想可以追溯到古希腊时期，哲学家在观察自然现象之后总结，大自然仿佛是一个有思想的生命体，总是有根据地去做事情，并在所有的行动中选择最短或最容易的路线。亚里士多德提出了等周问题，几何学家欧几里得提出了光传播的最短路径原理，据此可以导出光的直射、反射及折射的规律。
图3 光的折射、反射示意图
物理学中最早成功使用“最小量”概念的是费马，1662年，费马提出了费马原理，也可以称作“最短时间原理”，即：光在介质中从一点到达另外一点时，总是沿着消耗时间最少的路径传播。可以毫不夸张地说，费马原理使用“最短时间”原理取代“最短路径”原理是科学史上的重大进步。通过欧费马原理，原理的反射定律、折射定律以及光路可逆性原理被统一起来。
图4 变分法证明两点间线段最短
费马原理的成功，暗示着“最小作用量原理”极有可能成为更普遍性的原理。在这之后，莱布尼兹尝试使用“最小作用量原理”去建立一个支配所有力学过程和光学过程的“作用量”概念。1744年，法国著名数学家和启蒙思想家莫泊丢提出了静力学中的普遍定律并将之推广到动力学中。虽然莫泊丢并没有找到“作用量”但是他的思想对后人有很大的启发性，从而被誉为“最小作用量原理之父”。
1760年，法国数学家和物理学家拉格朗日用自己熟知的变分法，从动力学的普遍原理——达朗贝尔-拉格朗日原理出发严格证明了最小作用量原理，并把它推广到多粒子系统当中。这是科学史上第一次对最小作用量原理的的正确表述。
图5 电子双狭缝衍射实验
爱尔兰数学家和物理学家哈密顿把最小作用量原理发展到了它的巅峰，提出了哈密顿原理：在相同的时间和相同的约束条件下，完整有势系统由某一初位形转移到另一已知位形的一切可能运动中，真实运动的哈密顿函数具有极值。哈密顿原理，真正完成了莫泊丢把几何光学中的费马原理推广到力学中的尝试，为牛顿运动定律提供了一个全新的力学基础。
图6 太空中的烛火和地球上的烛火对比图
最小作用量原理的重大意义——连接经典物理和量子力学可以说，最小作用量原理是普适的。你可以不用建立特别的参照系，就可以通过拉格朗日函数，用最小作用量原理求出所有的力学量；你也可以用拉格朗日方程来描述电磁场中的能量密度。最小作用原理是如此的简洁和优美，它在物理学各个领域中都有普适性。
在经典物理学中，处理一个质点运动的路径，我们会将质点的势能进行微分，找到方向，然后在下一个无限小的时间间隔内重复上面的步骤。拉格朗日法的不同是，取作用量最小化的那条路径，就是求极限。
路径相消
在量子力学中，我们从电子的双狭缝实验可知，电子其实是经过了所有的可能路径，电子通过这些所有可能路径都按照一定的概率发生，费曼处理它的方法就是路径积分法。当一个粒子移动时，它确实采取了所有可能的路径。但是，在远离经典路径（即远离作用量的极值）的情况下，相邻的路径之间的作用量变化很大，因此不同路径的总和平均为零：也就是说，远离经典路径，每个路径点在随机方向上的复振幅，它们之间会相互抵消。只有在接近经典路径（即接近作用量的极值），邻近路径的相才会相互加强：也就是说，接近经典路径，每个路径点在相同方向上的复振幅，它们会相加。这就是经典物理是如何从量子物理出现的。
路径相加
全文总结由于本文只是一篇关于最小作用量原理的介绍，不是一篇论文，所以很多应该有数学公式的地方我都略了过去。我的目标仅仅是希望大家能通过狗撵包子走直线这个现象，进而观察更多的自然现象，了解这个自然界的最基本原理、物理学原理的原理：最小作用量原理。它不仅反映了自然界的真与美，也反应了人们对自然规律的普遍性与简单性的追求。
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